采空区地表沉降问题的根源在于废弃煤柱承载能力的逐渐丧失。在复杂的地质条件下，煤柱不仅承受上覆岩层的压力，还容易受到岩石蠕变、风化及其他地质作用的侵蚀，进而对地表建筑、铁路和公路等基础设施的安全构成严重威胁^[1–5]。因此，如何有效加固废弃煤柱，以维持采空区的稳定性，已成为岩石力学领域尤其是采空区沉降控制中的核心研究课题之一^[6]。目前，矿柱加固技术研究主要依赖于大比例尺相似材料模型试验、数值模拟及现场监测等方法。

在煤柱加固方面，学者们提出了多种方案。黄万朋等^[7]提出的窄煤柱双巷掘进法显著提升了开采率与煤柱稳定性，并在巷道变形控制方面优于传统方法。谷长宛等^[8]通过研究胀锁式对穿锚索在沿空掘巷窄煤柱加固中的应用，结合数值模拟与现场实验，证明了该技术的有效性和优化潜力。张洪伟等^[9–10]提出的巷旁注浆加固技术显著提升了窄煤柱的稳定性，且验证了充填率在20%左右时的效果最佳，不会引发采空区火灾。冯国瑞等^[11]通过合理设计煤柱双侧充填体的宽度和高度，提高了煤柱群的稳定性，为链式失稳防控提供了理论依据。陈绍杰等^[12]的研究表明，充填墙通过侧向约束和分担载荷可以显著增强煤柱的承载能力。

然而，传统加固方法如锚索、注浆、喷射混凝土及充填墙等，虽然在一定程度上提升了煤柱的稳定性，但在提升煤柱长期承载力及适应复杂地质环境方面仍存在局限，且难以兼顾高效开采与煤柱稳定性。近年来，纤维增强复合材料（fiber reinforced plastic，FRP）因其轻质、高强度、施工便捷及耐腐蚀等特点，在土木工程领域得到了广泛应用^[13–15]，其高强度和耐久性特别适用于煤矿恶劣环境下的长期加固需求，为煤柱结构提供了新的加固途径。已有一些学者开始将FRP运用到煤矿加固领域，Das等^[16]首先提出将碳纤维增强复合材料（carbon fiber reinforced plastic，CFRP）布应用于煤柱加固领域，通过单轴压缩试验及数值模拟进行了详细的稳定性分析，结果表明，CFRP布显著提高了煤样的承载力和变形能力，从而评估了这种方法在地下采矿中的应用潜力。白锦文等^[17]通过巴西劈裂试验研究了FRP包裹对煤充结构体界面稳定性的增强作用，结果表明，FRP包裹显著提升了界面强度，减少裂纹并改善了结构体的抗劈裂性能，为劈裂失稳防控提供了理论支持。Xia等^[18]研究了CFRP包裹对煤样力学性能的影响，发现CFRP包裹提高了破坏应力阈值，改变了裂纹模式，并优化了声发射（acoustic emission，AE）事件分布。Xia等^[18]还基于能量守恒原理，构建了煤样应力-应变关系的损伤本构模型。李庆文等^[19–23]从层数效应、加载速率及能量耗散等角度探讨了CFRP布约束煤样的轴压性能，结果表明，CFRP布约束显著提高了煤样的承载能力。

综上所述，尽管已有研究尝试将FRP技术引入煤矿加固领域，但主要集中于宏观试验，缺乏对细观机制的深入探讨。基于此，本研究将通过室内单轴压缩试验与数值模拟相结合的方法，系统分析不同CFRP布层数对煤圆柱力学特性及能量演化的影响。通过试验测定0～1层CFRP布约束条件下煤圆柱的力学特性，并进一步通过有限差分-离散元法（finite difference method-discrete element method，FDM-DEM）耦合数值模拟分析0～6层CFRP布约束煤圆柱，特别是其强度、变形特性与能量吸收效率，以期为CFRP加固技术在复杂地质环境下的工程应用提供新的理论参考。

1.   能量计算方法

煤圆柱在轴向压缩变形过程中，经历了能量的输入、积累、耗散和释放，这是一个动态的能量演化过程^[24]。在不考虑温度产生热能的情况下，外荷载对煤圆柱所做的功分为两部分：一部分以弹性能的形式存储于煤圆柱中，另一部分则以塑性能、损伤能等形式耗散^[25]。当煤圆柱的储能达到极限时，其结构将发生失稳^[20]，能量转换过程如图1所示，其中σ为应力。

图  1  煤圆柱的能量转换过程

Figure  1.  Energy conversion process of cylindrical coal samples

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设试验过程中外力对CFRP布约束煤圆柱做功产生的总能量为U，包括弹性应变能U_e、耗散能U_d和释放能U_r 3部分^[18]，单位为J/m³。根据热力学定律，U可表示为^[26–27]

然而，与素煤不同的是，CFRP布约束煤圆柱的应变能必须分别根据煤和CFRP布的应变能计算得出。由于CFRP布是一种线弹性材料，因此可以合理地假设在试样损坏之前，CFRP布中没有发生塑性损坏。此外，对于CFRP布约束煤圆柱，U_r 比U小得多^[18]，因此，式(1)可简化为

根据文献[22, 24]，总能量U和弹性应变能U_e分别为

式中：σ₁、σ₂、σ₃分别为第一、二、三主应力，ε₁、ε₂、ε₃分别为第一、二、三主应力对应的应变，E为试件的弹性模量，v为试件的泊松比。

基于本研究的试验条件，可确定σ₂=σ₃=0，式(3)和式(4)可简化为

利用定积分原理，总能量U可等效为

式中：${\sigma }_{1}^{i}$为轴向应力-应变曲线中每个点的应力，MPa；${\varepsilon }_{1}^{i}$为应力-应变曲线中每个点的应变，%。

将式(6)、式(7)代入式(2)，最终得到耗散能

2.   试验概况

2.1   CFRP布拉伸试验

试验所用碳纤维布为高强度Ⅱ级纤维布，CFRP布制备及拉伸试验参考文献[28]和国标^[29–30]进行。试验时，将制备好的CFRP条带用实验仪器的夹头紧紧夹住，并保持试件的轴心与夹头重合，共制备了7个CFRP布条带（CFRP-1～CFRP-7），如图2所示。通过DH3816静态应变测试仪与应变片相连采集拉伸变形数据，拉伸试验采用位移控制法，加载速度为2 mm/min。

图  2  CFRP条带制作

Figure  2.  Preparation of CFRP strips

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图3为CFRP布拉伸荷载-应变曲线，分析可知：在达到最大荷载前，曲线中的应力与应变基本呈线性关系；达到峰值荷载后，应力迅速下降，表明试件开始破坏。CFRP条带呈脆性破坏模式。从图3中可以发现，CFRP条带承受的拉伸力在3.40～4.77 kN之间，平均值为3.83 kN；能承受的拉应变在1.56%～2.14%之间，平均值为1.94%；最大拉应力在816.2～1068.9 MPa之间，平均值为918.1 MPa。7个CFRP条带的具体试验结果见表1，其中：F_CFRP、ε_CFRP、T_CFRP分别为CFRP条带承受的最大拉伸力、拉应变和抗拉强度，x为峰值应力处的位移。

图  3  CFRP条带荷载-应变曲线

Figure  3.  Load-strain curves of CFRP strips

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表1中，CFRP条带的拉应变ε_CFRP和抗拉强度T_CFRP分别为

式中：l_CFRP、a、d分别为CFRP条带的长度、宽度和厚度，取250、25和0.167 mm。

表  1  CFRP布的力学参数

Table  1.  Mechanical parameters of CFRP sheets

CFRP No.	FCFRP/N	x/mm	εCFRP/%	TCFRP/MPa
CFRP-1	3846.0	4.71	1.88	921.2
CFRP-2	3880.5	5.19	2.07	929.5
CFRP-3	3889.5	5.18	2.07	931.6
CFRP-4	3877.5	4.57	1.83	928.7
CFRP-5	4462.5	5.35	2.14	1068.9
CFRP-6	3466.5	5.05	2.02	830.3
CFRP-7	3408.0	3.91	1.56	816.3
Average value	3832.9	4.85	1.94	918.1

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2.2   单轴压缩试验

本研究通过对CFRP布涂抹浸渍胶来达到对小煤圆柱侧向约束的效果，试样尺寸按照国际岩石力学学会（International Society for Rock Mechanics，ISRM）的推荐，制备成直径（D）为50 mm，高（H）为100 mm的标准圆柱体，试件两端的不平行度和端面不垂直度均小于0.02 mm^[31]。其中，CFRP布宽度按照试件的高度进行裁剪，长度^[21]为

式中：n为CFRP层数；D为煤圆柱直径；l_DJ为搭接长度，50 mm。1层对应CFRP布长度为207.08 mm。

采用WDW-300型微机控制电子式万能试验机以及DH3820N分布式信号测试分析系统进行本次单轴压缩试验，试验设备如图4所示。试验以CFRP布层数为变量，取值范围为0～1层，开展对未约束煤圆柱和CFRP布约束煤圆柱的单轴压缩试验，研究其力学特性。试验加载方式采用位移控制，加载速率设为0.12 mm/min。将试件按层数进行分类并编号，进行多次试验。根据GB/T 50266—2013《工程岩体试验方法标准》^[32]开展试验。试验方案见表2，其中：C0表示未约束煤圆柱，C1表示1层CFRP布约束下的煤圆柱。

图  4  试验设备及采集系统

Figure  4.  Test equipment and acquisition systems

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表  2  单轴压缩试验方案

Table  2.  Uniaxial compression test scheme

Specimen No.	Layer	Number of samples	Loading rate/(mm·min–1)
C0	0	3	0.12
C1	1	3	0.12

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2.3   试验结果分析

未约束和CFRP约束煤圆柱在单轴压缩下的变形过程均分为压密、弹性、屈服和峰后4个阶段，各阶段如图5(a)所示。图5(b)为单轴压缩试验试样的应力-应变曲线。(1) 初始压密阶段（OA），加载初期应力-应变曲线呈“上凹”开口，由于煤为非均质材料，内部的微裂隙、气孔等原生缺陷在轴向荷载下逐渐闭合，表现出非线性特征；(2) 弹性变形阶段（AB），曲线进入线性区域，裂隙稳定发展，力学性能基本不变；(3) 屈服变形阶段（BC），曲线斜率减小，较小应力导致较大变形，产生应力集中和裂隙扩展，直至试样整体破坏；(4) 峰后破坏阶段（CD），试样达到承载极限后，应力迅速下降，裂隙迅速贯通形成宏观断裂面，表现出脆性破坏。

图  5  单轴压缩试验的应力-应变曲线

Figure  5.  Stress-strain curves of uniaxial compression tests

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可以看到，CFRP布约束煤圆柱与未约束煤圆柱的应力-应变曲线相似，但在屈服阶段和峰后阶段表现出了不同的特征。具体而言，CFRP布约束煤圆柱在屈服阶段曲线出现明显波动，峰后阶段则表现出“跌落式上升”的应力现象。这是由于CFRP布对煤圆柱形成了环向约束，即使发生破坏，试样仍能保持完整，具备一定的承载能力，从而呈现出延性破坏特性。

未约束和1层CFRP约束煤圆柱（各3个试样）的试验结果见表3。CFRP布约束煤圆柱的平均峰值应力大约是未约束煤圆柱的2倍左右，平均峰值应变大约是未约束煤圆柱的2.5倍左右，平均弹性模量大约是未约束煤圆柱的1倍左右，表明CFRP布的存在使煤圆柱的极限承载力和轴向变形能力得到了显著提升。

表  3  煤圆柱单轴压缩试验结果

Table  3.  Uniaxial compression test results of cylindrical coal specimens

Test No.	Layer	D/mm	H/mm	σ/MPa	ε/10−3	E/GPa
C0-1	0	50.05	100.21	19.50	13.53	1.72
C0-2	0	49.08	100.06	21.00	14.10	1.79
C0-3	0	50.01	100.13	19.81	13.46	1.95
Average				20.10	13.70	1.82
C1-1	1	49.04	100.00	42.14	38.04	1.61
C1-2	1	49.06	100.04	42.12	33.49	1.95
C1-3	1	49.81	100.37	39.38	29.55	1.92
Average				41.21	33.69	1.83

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3.   数值模拟概况

3.1   FDM-DEM耦合原理

本研究采用颗粒流程序（particle flow code，PFC）和连续快速拉格朗日分析软件（fast Lagrangian analysis of continua，FLAC），PFC常用于模拟离散介质的细观力学特性，而FLAC则用于模拟连续介质的宏观力学行为。PFC在处理复杂几何模型时效率较低，而FLAC在该方面有所突破。采用PFC^3D-FLAC^3D的离散-连续耦合方法，可以在细观分析的同时满足大尺度分析需求，耦合原理如图6所示，其中：CP、GP、A分别为接触点、网格点和划分区域，f₁～f₃为接触力，x₁～x₃为接触力方向。本研究采用界面耦合，通过基于边界控制的墙体方法实现耦合。

图  6  PFC^3D-FLAC^3D耦合计算原理

Figure  6.  Calculation principle of PFC^3D-FLAC^3D coupling

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3.2   建立数值模型

PFC包含滑动模型、刚度模型和黏结模型共3种接触模型。滑动模型适用于无黏聚材料，不适合模拟煤岩体；黏结模型用于模拟材料内部的黏聚力，适合模拟含黏结结构的煤岩体；刚度模型包含线性模型和赫兹模型，其中赫兹模型适用于无黏结材料，而在颗粒与墙体的相互作用中则选择线性模型。

黏结模型包括接触黏结模型和平行黏结模型。接触黏结模型适用于土类材料，仅能传递力，不能传递弯矩；平行黏结模型适用于岩石和混凝土，既可传递力又可传递弯矩。因此，本研究选用平行黏结模型模拟煤圆柱^[33–34]，如图7所示，其中：F_c、M_c、D_c分别为接触力、接触力矩和颗粒之间的接触距离，k_n、k_s分别为平行黏结法向刚度和切向刚度，μ、g_s、${\overline{\sigma }}_{\mathrm{c}}$、$\overline{c}$、$\overline{\varphi }$分别为摩擦系数、颗粒黏结间隙、黏结拉应力、黏结强度和摩擦角。

图  7  平行黏结模型^[33–34]

Figure  7.  Parallel bonding model^[33–34]

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在PFC^3D中生成尺寸与试样相同的数值模型，模型包括8881个颗粒，颗粒半径范围为1.4～1.6 mm，密度为2650 kg/m³，孔隙比为0.4。CFRP布通过FLAC^3D的土工格栅单元模拟，并与PFC^3D耦合。未约束模型通过删除CFRP布实现，如图8所示。

图  8  煤圆柱模型

Figure  8.  Model of cylindrical coal samples

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3.3   CFRP布拉伸模拟

在进行CFRP布约束煤圆柱数值模拟前，需先进行CFRP布的拉伸模拟，以标定细观参数并反映其宏观力学特性。构建尺寸为250 mm×60 mm的土工格栅单元，施加等大反向力并以2 mm/min的位移控制进行拉伸。7组CFRP布拉伸模拟的结果显示：平均最大试验力为3.83 kN，相对误差为0.08%；峰值力处位移平均值为5.003 mm，相对误差为3.2%；应变平均值为2%，相对误差为3.1%；最大拉应力平均值为919 MPa，相对误差为0.1%。所有误差均在5%以内，表明模拟符合试验要求，模拟的应力-应变曲线如图9所示。

图  9  CFRP条带的应力-应变模拟曲线

Figure  9.  Simulated stress-strain curves of CFRP strips

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3.4   单轴压缩试验模拟及细观参数标定

如图10所示，采用位移控制的上、下加载板以0.12 mm/min速率进行压缩，直至模型破坏。模拟破坏形态与试验结果相似，且数值模拟的应力-应变曲线与室内试验曲线大致相同。主要的不同之处在于模拟曲线的应变小于试验曲线，可能是由于PFC中颗粒为刚性，且在模型平衡后内部均匀排列，不存在原始缺陷，导致缺乏初始压密阶段^[35–36]。

图  10  试验与模拟验证

Figure  10.  Verification of tests and simulations

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为更好地反映模拟的可靠性，通过“试错法”验证和修改参数^[37–38]，得到模拟与试验基本物理参数的对比情况，见表4。可以看出：未约束煤圆柱数值模拟与室内试验得到的峰值应力σ_p、峰值应变ε_p及弹性模量E的相对误差分别为3.0%、6.1%和5.2%；约束煤圆柱数值模拟与室内试验得到的峰值应力、峰值应变及弹性模量的相对误差分别为1.2%、9.8%和8.1%。误差均在10%以内，表明该参数适用于本次数值模拟研究，具体细观参数见表5，其中：E_c、$\overline{E}_{\mathrm{c}}$、k、σ_b、τ_b、φ分别为有效模量、黏结有效模量、黏结刚度比、法向黏结强度、切向黏结强度、摩擦角，T_g、ε_g、E_g、d、K_s、c_i、φ_i分别为抗拉强度、极限拉应变、弹性模量、CFRP布厚度、界面剪切刚度、界面黏聚力、界面摩擦角。

表  4  试验与模拟煤圆柱样品的力学参数对比

Table  4.  Comparison of mechanical parameters of cylindrical coal sample between test and simulation

Sample	σp				εp				E
	Test/MPa	Sim./MPa	Error/%		Test/10−3	Sim./10−3	Error/%		Test/GPa	Sim./GPa	Error/%
Unconfined	19.50	20.08	3.0		13.53	12.71	6.1		1.72	1.63	5.2
CFRP confined	42.14	41.63	1.2		37.04	33.40	9.8		1.61	1.48	8.10

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表  5  煤圆柱和CFRP布的细观参数

Table  5.  Microscopic parameters of cylindrical coal sample and CFRP sheet

Sample	Ec/GPa	$\overline{E}_{\mathrm{c}}$/GPa	k	σb/MPa	τb/MPa	φ/(°)	μ
Cylindrical coal	1.2	1	1	18.9	11	50	0.5
Sample	Tg/MPa	εg/%	Eg/GPa	d/mm	Ks/(N·m−3)	ci/kPa	φi/(°)
CFRP sheet	918.07	1.94	47.54	0.168	3.5×106	10	30

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3.5   数值模拟方案

在保持试验样品尺寸、加载速率和颗粒数不变的前提下，以CFRP布层数为变量，进行0～6层CFRP布约束煤圆柱的单轴压缩数值模拟，分别从宏观和细观角度研究其力学特性。细观模拟方案见表6，其中：DZ-C0～DZ-C6中的DZ表示单轴压缩，C表示煤，0～6表示约束层数。

表  6  数值模拟方案

Table  6.  Numerical simulation scheme

Sample	Size/(mm×mm)	Layer	Number of particles	Loading rate/(mm·min−1)
DZ-C0–DZ-C6	50×100	0–6	8881	0.12

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4.   CFRP布约束煤圆柱模拟结果

4.1   应力-应变曲线特征

图11展示了模拟得到的不同CFRP布层数下煤圆柱单轴压缩的应力-应变曲线。结果表明，随着CFRP布层数的增加，煤圆柱的峰值应力和峰值应变均呈上升趋势。此外，约束试样的峰值应变明显高于无约束试样，与试验结果一致。

图  11  模拟不同CFRP层数下煤圆柱的应力-应变曲线

Figure  11.  Numerical simulated stress-strain curves of cylindrical coal samples with different CFRP layers

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图12给出了煤圆柱试样的破坏形态，其中，红色和绿色分别代表剪切裂纹和拉伸裂纹。可见，微裂纹集中汇聚形成破坏。结合图12中的裂纹数量可以看出：1～2层CFRP约束时，破坏集中在煤圆柱的中部区域，以剪切裂纹为主，拉伸裂纹为辅，形成了剪-拉复合破坏；随着CFRP层数增至3层，拉伸裂纹比例上升，破坏模式逐渐转变为拉-剪复合破坏，并开始表现出剪切破坏的宏观特征；CFRP层数增至4层时，拉-剪破坏带贯穿整个煤圆柱，形成“X”形结构；随着CFRP层数增至5～6层，宏观破坏模式转变为显著的剪切破坏，右侧对角线区域出现了明显的剪切破坏带，同时中部的裂纹数量显著减少。上述结果表明，CFRP层数的增加增强了煤圆柱的侧向约束，抑制了侧向变形，并改变了应力分布，使得宏观破坏机制逐步由拉伸破坏向剪切破坏转变。为更直观地呈现力学参数的变化，表7列出了具体的力学参数。

图  12  煤圆柱的破坏形态

Figure  12.  Damage patterns of the cylindrical coal samples

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表  7  不同CFRP布层数下煤圆柱的力学参数

Table  7.  Mechanical parameters of cylindrical coal samples with different CFRP sheet layers

Sample	n	εp/10−3	σp/MPa	E/GPa
DZ-C0	0	12.71	20.08311	1.63
DZ-C1	1	33.40	41.63361	1.48
DZ-C2	2	48.31	60.29511	1.30
DZ-C3	3	63.95	84.83669	1.38
DZ-C4	4	75.46	101.03746	1.41
DZ-C5	5	88.68	114.25265	1.35
DZ-C6	6	105.91	130.26486	1.29

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试验数据表明，随着CFRP布层数的增加，峰值应变和峰值应力均显著上升，从无CFRP时的1.271%和20.08 MPa增大至6层CFRP时的10.591%和130.26 MPa，分别增长约733%和548%。然而，弹性模量的变化并不呈现单调上升的趋势：在无CFRP时，弹性模量为1.63 GPa；随着CFRP层数的增加，弹性模量先降至2层CFRP时的1.30 GPa，之后略有回升；最终在6层CFRP时降至1.29 GPa。这种波动情况说明，尽管增加CFRP层数能提升材料的强度，但可能导致弹性模量下降，影响材料的刚性。因此，在设计和应用中需权衡强度与刚度的需求，从而优化材料的性能。例如：在需要高承载能力的结构中，可考虑使用6层CFRP；而在要求高刚度的应用中，则应限制层数，以避免刚度降低。该研究为CFRP材料的设计和优化提供了重要的理论依据。

4.2   不同CFRP布层数下煤圆柱的裂隙数量分布及破坏特征

在裂纹分布方面，如图13所示，裂隙数据揭示了CFRP布层数对试样拉伸和剪切裂纹数量的影响。随着CFRP布层数的增加，拉伸裂纹数量从1层CFRP时的2565增加至4层CFRP时的3021，随后在5～6层CFRP时有所下降。剪切裂纹数量在2层CFRP时达到峰值（2900），4层CFRP时降至2479，并在6层CFRP时回升至2759。总体裂纹数量随CFRP层数的增加呈递增趋势，但增速逐渐放缓。图13中显示，剪切裂纹在1～2层CFRP时占比较大，而从3层CFRP开始，拉伸裂纹逐渐占主导。图13中的无约束煤圆柱（浅蓝虚线）的裂纹数为4612，对比有约束煤柱发现，增加CFRP布层数会增加整体的裂纹数量。

图  13  不同CFRP层数下煤圆柱的裂纹数量

Figure  13.  Number of cracks in cylindrical coal samples with different CFRP layers

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5.   CFRP层数对煤圆柱能量演化的影响

5.1   CFRP约束煤圆柱的能量演化规律

依据式(6)、式(7)和式(8)，得到不同CFRP布层数下煤圆柱的总能量、弹性能和耗散能演化曲线，如图14所示。

图  14  不同CFRP层数下煤圆柱的能量演化规律

Figure  14.  Energy evolution law of cylindrical coal samples with different CFRP layers

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总能量和耗散能均随着CFRP层数的增加而显著增大，弹性能虽然与应变无明显相关性，但也随着CFRP层数的增加而增大。这种现象可能是由于增加CFRP层数后煤圆柱的整体刚度和韧性得到提升，从而在不出现显著形变的条件下能够储存更多的弹性能；同时，增加层数优化了应力分布，使得能量可以以弹性形式存储，而不依赖于具体的应变水平。这种现象表明，增加CFRP层数有助于提升煤圆柱在受力状态下吸收或耗散能量的能力，对于提高工程结构的能量管理和防护性能具有重要意义。

5.2   CFRP约束煤圆柱的能量吸收效率

为了更好地评估CFRP约束对煤圆柱的作用，采用广泛的能量吸收效率法定义CFRP约束煤圆柱的能量吸收效率η^[39]，用以评估煤圆柱在弹性变形下的性能表现

式中：ε_cd为压实应变，由能量吸收效率-应变曲线的极值点对应的应变确定^{[33, 40–41]}。一般情况下，能量吸收效率的极值点通常是唯一的。然而，对于某些曲线，由于存在多个极值点，可能需要结合曲线的整体走势来判断极值点的位置。根据3.1节中的应力-应变曲线分析，并未出现多个极值点的情况。

图15为不同CFRP层数下煤圆柱的能量吸收效率曲线。可以观察到，随着CFRP层数的增加，在拐点之前，各曲线的能量吸收效率基本重合。然而，能量吸收效率的极值点随着CFRP层数的增加而增大，表明增加CFRP层数可以提升能量吸收效率的极值，从而影响煤圆柱的能量吸收性能。1～6层CFRP布约束煤圆柱的能量吸收效率与无CFRP布约束相比分别提升了2.64、3.92、5.16、6.27、7.88和10.51倍，表明随着CFRP层数的增加，能量吸收效率显著提升，体现了CFRP层数对煤圆柱能量吸收性能的积极影响。

图  15  不同CFRP层数下煤圆柱的能量吸收效率曲线

Figure  15.  Energy absorption efficiency curves of cylindrical coal samples with different CFRP layers

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5.3   CFRP层数对煤圆柱失稳及能耗比的影响

在局部高应力的作用下，煤圆柱的强度失效不一定直接导致整体失稳，但目前的强度分析方法和准则对非均质煤体的强度变异性和整体失稳特征的解释存在局限性^[42]。针对CFRP布对煤圆柱的被动约束效果，可从能量演变的角度分析其内部裂隙扩展过程，通过研究总能量中耗散能与弹性能的比值关系，构建基于能量突变的失效判据，从而为进一步分析被动加固矿柱的整体稳定性提供理论依据。为此，引入弹性能耗比这一概念，即CFRP布约束煤圆柱的耗散能与弹性能之比（ξ），两者之间的关系如图16所示。

图  16  CFRP约束煤圆柱的弹性能与耗散能的关系^[20]

Figure  16.  Relationship between elastic strain energy and dissipated energy of CFRP-confined cylindrical coal samples^[20]

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ξ能够实时反映CFRP布约束煤圆柱在变形破坏过程中的能量耗散与储能变化状态^{[22, 43]}

根据5.1节中不同CFRP层数约束煤圆柱的弹性能和耗散能数据，利用式(13)换算得到弹性能耗比曲线，其中未约束煤圆柱的弹性能耗比曲线如图17所示，1～6层CFRP约束煤圆柱的弹性能耗比曲线如图18所示。可以看到，在峰前阶段，弹性能耗比ξ随着轴压的增加而迅速下降至某一拐点值，然后缓慢上升，在峰值应力对应的拐点处开始突增，最后形成类似于“倒勾”的特征曲线。

图  17  未约束煤圆柱的弹性能耗比曲线

Figure  17.  Elastic energy consumption ratio curves of unconfined cylindrical coal sample

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图  18  不同CFRP层数下煤圆柱的弹性能耗比曲线

Figure  18.  Elastic energy consumption ratio curves of cylindrical coal samples with different CFRP layers

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可以看到，不同CFRP层数下煤圆柱的弹性能耗比曲线特征与未约束的煤圆柱相似，均出现“拐点”，与文献[22, 44]中的结论一致。随着CFRP层数的增加，弹性能耗比曲线逐渐向右延展，拐点（ξ₁和ξ₂）对应的应变值逐步增大，表明煤圆柱在失稳前可承受更高的应变和能量耗散。因此，可以将失稳准则定义为：当弹性能耗比达到拐点ξ₁对应的应变时，煤圆柱进入稳定阶段；当弹性能耗比达到拐点ξ₂对应的应变时，煤圆柱进入失稳阶段。随着CFRP层数的增加，失稳临界应变也相应增大，体现出CFRP层对煤圆柱抗失稳能力的增强。

6.   CFRP布等效厚度量化分析与讨论

本研究从能量的视角出发，深入探讨了CFRP布对煤柱的约束机理。CFRP布主要通过以下机制实现煤柱力学性能的提升：首先，CFRP布包覆于煤柱表面后，其高强度纤维的约束效应有效增强了界面强度和黏结力，显著提高了界面的稳定性，抑制了界面裂纹的形成和扩展；其次，CFRP布包覆改善了煤柱表面的应力分布，缓解了局部应力集中的现象，从而增强了煤柱在复杂应力条件下的整体稳定性；此外，CFRP布加固显著提升了煤柱的韧性，使其在劈裂失稳前能够吸收更多能量，并经历更充分的裂纹扩展过程，从而有效延缓失稳破坏的发生。这些机制为CFRP布在煤柱加固中的应用提供了理论支撑，进一步拓展了其在复杂地质条件下的适用性。为进一步定量分析CFRP布的约束效应，本研究引入了“等效厚度”概念，以系统评估不同包覆层数下的约束性能，为加固效果的精确分析与后续研究方向的拓展奠定基础。

图19显示了CFRP约束煤圆柱的机制，可以将CFRP布的约束视作一种具有一定厚度的煤套^[45–46]。基于此，提出采用等效厚度来量化CFRP布约束。根据煤圆柱截面内的平衡条件，可以计算出煤圆柱的约束应力

图  19  CFRP布约束煤圆柱的机制

Figure  19.  Mechanism of CFRP-confined cylindrical coal samples

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式中：σ_r为煤圆柱的约束应力，σ_CFRP为CFRP布的环向应力，R为煤圆柱的半径。

根据2.1节，考虑到CFRP布在破坏前处于线弹性，其应力-应变关系可以表示为

式中：ε_cir,CFRP为CFRP布的环向应变，E_CFRP为CFRP布的弹性模量。

根据煤圆柱截面内方向的兼容性，CFRP布的环向应变可以视为与煤圆柱的环向应变ε_cir一致

将式(15)和式(16)代入式(14)，可以得到环向应力与环向应变的关系

CFRP布的约束刚度K_CFRP可以表示为

为了便于深入分析，利用煤圆柱的弹性模量对约束刚度进行归一化处理。同时，引入新的变量约束刚度比λ

式中：E_C0为无约束煤圆柱的弹性模量。可以观察到，约束刚度与CFRP布的厚度成正比，表明通过调整约束煤圆柱表面的CFRP布层数可以改变约束刚度。

基于约束刚度相等的原则，可以计算出外围煤套的等效厚度^[47]。将煤套视为厚壁空心煤样，通过均匀内径压力作用下厚壁空心煤样的弹性解，能够得到径向应力与径向应变的关系。根据定义，煤圆柱的约束刚度可以通过径向应力与径向应变的比确定

式中：ν、ν_C0分别为CFRP约束煤圆柱和无约束煤圆柱的泊松比。

式(18)与式(20)的约束刚度相等，得到等效煤套厚度

式中：r_eq为等效煤套半径，r为煤圆柱半径，d_eq为等效厚度。计算结果见表8。可以看到，等效厚度随CFRP层数的增加呈非线性增大。

表  8  不同CFRP层数煤圆柱的约束刚度及等效厚度

Table  8.  Confinement stiffness and equivalent thickness of cylindrical coal samples with different CFRP layers

n	d/mm	ECFRP/GPa	KCFRP/MPa	λ	deq/mm
1	0.167	47.54	317.57	0.165	1.86
2	0.334	47.54	635.13	0.329	4.37
3	0.501	47.54	952.70	0.494	7.99
4	0.668	47.54	1270.27	0.658	13.83
5	0.835	47.54	1587.84	0.823	25.53
6	1.002	47.54	1905.40	0.987	74.05

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根据表8中的等效厚度绘制等效厚度曲线及其拟合曲线，如图20所示，其中，蓝色虚线为拟合曲线。拟合度表明拟合效果极佳。可以看到，等效厚度随CFRP层数增加迅速增大，且增速逐渐加快；当层数接近6.78时，等效厚度趋向于无限大，形成明显的“瓶颈”效应，说明等效厚度并不会随着层数的增加而无限增大。因此，在设计过程中，需要考虑等效厚度的同时避免资源浪费，达到优化材料利用率的目的。

图  20  等效厚度柱状图及拟合曲线

Figure  20.  Equivalent thickness histograms and fitting curve

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7.   结　论

结合FDM-DEM耦合数值模拟方法与室内单轴压缩试验，探讨不同CFRP布层数对煤圆柱能量演化的影响，得出以下结论。

(1) 单轴压缩试验结果显示，未约束和CFRP约束煤圆柱的应力-应变曲线均可分为压密、弹性、屈服和峰后4个阶段。CFRP布约束煤圆柱在屈服和峰后阶段展现出明显的延性破坏特性，其平均峰值应力、峰值应变和弹性模量显著高于未约束煤圆柱，增幅分别约为2、2.5和1倍。

(2) 数值模拟结果表明，随着CFRP层数的增加，煤圆柱的峰值应变和峰值应力显著提升，增幅分别达到约733%和548%，而弹性模量未呈现单调上升趋势，提示在设计应用中需综合考虑强度与刚度。随着CFRP层数增加，破坏机制由张拉破坏逐渐转变为剪切破坏，裂纹数量及分布特征的变化揭示了CFRP增强对应力分布和破坏过程的显著影响。

(3) 随着CFRP层数的增加，煤圆柱的总能量和耗散能显著提升，弹性能虽与应变无显著关系，但也呈上升趋势；能量吸收效率显著提高，最高可达10.51倍。同时，弹性能耗比曲线存在“拐点”，呈现出“倒勾”形状，表明煤圆柱能承受更高的应变与能量耗散，从而增强其抗失稳能力。基于此，提出了一种失稳判据，并给出了经验公式，明确了失稳临界应变与CFRP层数之间的关系。

(4) 引入“等效厚度”概念以量化CFRP布对煤圆柱的约束效应，从而系统评估不同CFRP层数条件下的约束性能。等效厚度随着CFRP层数的增加呈非线性增大，且在6.78层时，等效厚度趋近于无穷大，说明在设计过程中，需要考虑等效厚度的同时避免资源浪费，从而将材料利用率达到最优。