Evolution Mechanism of Shale Gas Reservoirs Permeability under Thermal-Fluid-Solid Coupling
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摘要: 为了研究热-流-固耦合作用下页岩渗透率的演化机制，考虑热解吸、有效应力和热膨胀对页岩渗透率的影响，提出了页岩的有效应力-渗透率模型，该模型能够分析吸附应变和热膨胀应变对页岩渗透率的影响机制。基于该模型和多孔介质弹性理论，建立了单轴应变条件下页岩气储层的热解吸渗透率模型，该模型能够探讨页岩渗透率随温度和孔隙压力的演化规律。利用室内实验观测的页岩岩样渗透率实验数据，验证了该模型的有效性和准确性。结果表明：(1)热解吸渗透率模型能较好地拟合恒压变温条件下的Marcellus页岩渗透率。(2) 探讨了恒温条件下页岩渗透率随孔压的演化机制，发现恒温条件下渗透率的演化规律呈“U形”，温度越高，渗透率随孔压下降的反弹现象越不明显。(3) 分析了恒压条件下页岩渗透率随温度的演化机制，发现恒压条件下渗透率随温度的演化规律呈“倒U形”，孔隙压力越大，温度对渗透率的影响越小。(4) 分别在恒温和恒压条件下对热解吸渗透率模型进行敏感性分析，发现泊松比越大，渗透率比值梯度越大，孔隙体积模量越大，渗透率比值梯度越小。恒压条件下，当线胀系数大于临界值或朗缪尔体应变小于临界值，渗透率的演化规律不呈现“倒U形”。恒温条件下，当朗缪尔体应变小于临界值时，渗透率的演化规律不呈现“U形”。Abstract: In order to study the evolution mechanism of shale permeability under thermal-fluid-solid coupling, the effective stress-permeability model of shale is developed considering the impact of thermal desorption and effective stress and thermal expansion on shale permeability. The proposed model is capable of revealing the influence mechanism of sorption strain and thermal expansion strain on shale permeability. Based on the model and the elastic theory of porous media, the thermal induced desorption permeability model of shale gas reservoirs under uniaxial strain condition was established. The model can discuss the evolution mechanism of shale permeability with temperature and pore pressure. The validity and accuracy of the model was verified against the laboratory measurements of shale core permeability. The following results were obtained: (1) The thermal induced desorption permeability model can fit the permeability of Marcellus shale under constant pressure and variable temperature. (2) The evolution mechanism of shale permeability with pore pressure under constant temperature is explored. The evolution law of permeability under constant temperature is U-shaped. The rebound of permeability with pore pressure decrease is less obvious with the increase of temperature. (3) The evolution mechanism of shale permeability with temperature under constant pressure condition is analyzed. The evolution law of permeability with temperature under constant pressure condition presents an inverted “U” shape. The influence of temperature on permeability is less with the increase of pore pressure. (4) The sensitivity analysis of thermal desorption permeability model under constant temperature and pressure was carried out. The larger the Poisson’s ratio is, the larger the permeability ratio gradient is. The larger the pore volume modulus, the smaller the permeability ratio gradient. At constant pore pressure, when the linear expansion coefficient is larger than the critical value or the Langmuir bulk strain is smaller than the critical value, the permeability evolution does not show an inverted “U” shape. At constant temperature, when Langmuir strain is less than critical value, permeability evolution does not show “U” shape.
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TB6钛合金是我国在美国Ti-1023钛合金（Ti-10V-2Fe-3Al）基础上自主开发的一种高强韧近β型合金，既有诸多亚稳β钛合金的优点，又有(α+β)两相钛合金的固有特性，具有比强度高、断裂韧性好、淬透截面大、各向异性小、锻造温度低、抗应力腐蚀能力强等优点[1]，广泛应用于航空航天飞行器结构中。航空航天飞行器工作时处于高速状态，受力复杂，且面临鸟撞等高速冲击的威胁，因此有必要研究其在压剪等复杂应力状态下的动态力学行为。
近年来，众多学者对TB6钛合金的本构关系开展了研究，加深了对其力学行为的理解。吴琳等[2]基于参数逐步回归法建立了TB6钛合金在不同温度范围的Arrhenius幂函数型本构关系。雷力明等[3]通过研究铸态TB6钛合金的高温热变形行为，建立了考虑应变的流变应力影响的Arrhenius双曲正弦型本构关系。段园培等[4]基于摩擦修正了TB6钛合金流变应力曲线，建立了Arrhenius双曲正弦型热流变本构关系。Wu等[5]通过研究TB6钛合金在超高周疲劳状态下的S-N曲线和微观裂纹，揭示了应变比和应力水平对S-N曲线和裂纹萌生机制的影响。Li等[6]通过显微压痕试验，研究了TB6钛合金的弹性模量、显微硬度等力学参数，并采用幂函数型应力-应变方程建立了微压痕塑性本构关系。当前关于TB6钛合金的研究主要集中在高温环境下低应变率压缩加载的热流变应力-应变关系和疲劳性能，缺少高应变率以及压剪等复杂应力状态下的本构关系和屈服准则研究。
本工作通过准静态和霍普金森压杆（Split Hopkinson Pressure Bar, SHPB）实验，研究TB6钛合金在压剪复杂应力状态下的动态力学性能，通过分析其力学性能的应变率相关性，建立高应变率范围的Johnson-Cook本构模型，最后通过引入拉压不对称因子修正von Mises屈服准则，得到一种适用于描述TB6钛合金高应变率屈服行为的修正屈服准则。
1. 实验方法
为探讨不同应力状态下TB6钛合金的准静态和动态力学性能，分别对圆柱压缩试样、压剪试样（SCS）[7]（开槽角度15°、30°和45°）和帽型纯剪切试样开展准静态和SHPB动态实验。试样材料为冷轧退火TB6钛合金板材，使用线切割和CNC雕刻机加工成圆柱压缩试样、压剪试样和帽型纯剪切试样，如图1所示。在本实验中，压剪试件的尺寸为：截面直径d为4 mm，H为1.25 mm，斜槽厚度T为2 mm；帽型纯剪切试样的尺寸为：w1=4.00 mm，w2=4.10 mm，h=2.00 mm，试样的厚度δ=5.00 mm。
1.1 试样准备及受力状态分析
Rittel等[7]对圆柱试样加工不同角度的斜槽，实现金属材料大应变范围的压剪应力加载。Jin等[9]分析了压剪试样的应力状态，如图1（a）所示。将内力沿斜槽分解成正应力和剪应力，得到正应力和剪应力的表达式
σ=FUTMcos2α/(dT) (1) τ=FUTMcosαsinα/(dT) (2) 式中：FUTM为压缩载荷，σ和τ分别为正应力和剪应力，d为截面直径，T为斜槽厚度，α为斜槽角度。与应力相同，将位移沿斜槽分解，得到正应变和剪应变的表达式
εn=ΔDcos2α/H (3) γ=ΔDcosαsinα/H (4) 式中：
$\varepsilon_{\rm n}$ 和$ \gamma$ 分别为正应变和剪应变，ΔD为试样压缩位移。帽型纯剪切试样如图1（b）所示。受帽型纯剪切试样在加载过程中的几何特征和结构变形的影响，剪切应力区的应力状态并不是理想的纯剪切状态，剪切区应力状态如图1（b）右图所示。周刚毅等[8]研究发现，实验设计时帽型试样满足平面应变条件，当受迫剪切区受剪方向接近最大剪切方向时，可以认为该帽型试样在加载过程中近似处于平面纯剪切状态。
剪切区剪应力和剪应变为
τ=FUTM/A=FUTM/(2δh) (5) γ=Δθ≈tanθ=ΔD/Δw (6) 式中：A为剪切区的剪切面积，δ为帽型试样厚度，h为设计剪切区高度，Δw为剪切变形区宽度。
1.2 SHPB动态实验
SHPB通过调整入射波形实现材料的恒应变率动态加载，广泛应用于金属、陶瓷、PMMA等材料的高应变率动态力学性能研究。SHPB主要由空气枪、子弹、入射杆、透射杆、试样、光电测速器、超动态应变仪、数字化存储器、吸能器等部分组成。
对于金属等塑性明显的韧性材料，根据一维应力波假定，可利用二波法[10]得到试样两端的动态压缩载荷FUTM(t)和压缩位移ΔD(t)
FUTM(t)=EbarAbarεt(t) (7) ΔD(t)=−2C0∫t00εr(t)dt (8) 式中：
$\varepsilon_{\rm r}$ 和$ \varepsilon_{\rm t}$ 分别为入射杆和透射杆上测得的反射应变和透射应变，Ebar和Abar分别为杆的弹性模量和截面面积，C0为杆中应力波波速。在压剪和纯剪切等复杂应力加载过程中，应变并非单向应变，因此用等效应变量化不同加载状态的等效应变率。假设材料不可压缩，得到Mise等效应变和等效应变率为
εeq=√23εijεij=√ε2n+13γ2 (9) ˙εeq=3εn˙εn+γ˙γ√9ε2n+3γ2 (10) 式中：
$\varepsilon_{\rm n}$ 为正应变，$ \gamma $ 为剪应变，${{\dot \varepsilon }_{\rm{n}}}$ 为正应变率，$\dot \gamma$ 为剪应变率。2. 实验结果及讨论
2.1 准静态压缩实验
所有准静态压缩实验都在Instron万能材料试验机上进行，应变率为0.001 s–1。为了获得压剪试样压剪应力区和帽型纯剪切试样剪切区的应变，采用工业相机拍摄准静态压缩实验过程中试样的变形过程，利用GOM Correlate软件获得试样的应变场分布。
图2为利用二维图像相关法（DIC-2D）得到的压剪试样压剪应力区和帽型纯剪切试样剪应力区的准静态应变场。可见，压剪试样斜槽端部出现应变集中，而压剪应力区、纯剪切应力区的应变近似均匀，可以对试样进行SHPB动态压缩实验。选取相同平面上的3个点，计算平均应变。对应变-时间曲线进行线性插值，并与载荷-时间曲线对应，得到单轴压缩、压剪、纯剪切和拉伸状态的应力-应变关系。
准静态正应力-应变曲线如图3所示：准静态压缩下，TB6钛合金的单轴压缩屈服应力为939 MPa，进入塑性阶段后应力强化，强度达到1152 MPa；单轴拉伸屈服应力为773 MPa，塑性阶段强度为893 MPa；准静态单轴压缩和拉伸明显出现不对称性；随着斜槽角度的增大，正应力减小。
准静态切应力-应变曲线如图4所示：纯剪切加载时剪应力最大，屈服应力为495 MPa；塑性阶段同样出现应力强化现象，强度达到567 MPa；斜槽角度越大，加载过程中剪切作用越强，剪应力越大。
2.2 SHPB动态压缩实验
SHPB动态压缩实验中，子弹、入射杆和透射杆的长度分别为200、1200和1200 mm，杆和子弹的直径均为14 mm。采用TB6圆形薄片作为入射波整形片，实现试样加载过程中的变形均匀和应力平衡。图5显示实验得到的典型波形。可见，单轴压缩反射波出现材料热软化效应所特有的波形，而压剪加载的反射波未出现明显的热软化现象。
图6为动态单轴压缩、压剪和纯剪切3种应力状态下SHPB动态压缩实验得到的应力-应变曲线，其中图6(a)为单轴压缩应力状态下的正应力-应变曲线，图6（b）为纯剪切应力状态下的剪应力-应变曲线，图6(c)、图6(e)和图6（g）为不同斜槽角度压剪应力状态下的正应力-应变曲线，图6（d）、图6(f)和图6（h）为不同斜槽角度剪切试样的剪应力-应变曲线。3种应力状态的正应力具有明显的应变率相关性，屈服强度随应变率的升高而增加。由图6（a）可知，高应变率单轴压缩加载下，材料进入塑性阶段后，应力首先开始强化，随着应变增加，绝热温升引起的热软化效应使材料强度下降，并保持应力平台。对比不同斜槽角度的正应力-应变曲线和剪应力-应变曲线可知，随着斜槽角度的增大，正应力分量的屈服强度减小，而剪应力分量的屈服强度增大，说明通过改变斜槽角度可以改变试样的应力状态。
图 6 SHPB动态压缩应力-应变曲线Figure 6. Stress-strain curves of TB6 titanium alloy under SHPB dynamic compression3. 本构模型
3.1 Johnson-Cook 本构模型
工程上常用热-黏塑性本构模型描述金属材料的动态力学响应，常见的热-黏塑性本构模型有Zerrilli-Armstrong模型、Johnson-Cook（J-C）模型[11]和Steinberg-Guinan模型。考虑到J-C模型能够较好地描述材料的应变硬化、应变率强化和热软化效应，本研究采用J-C模型对TB6钛合金单轴压缩和纯剪切动态应力-应变曲线进行拟合，其表达式为
σ=(A+Bεn)(1+Cln˙ε∗)(1−T∗m) (11) 式中：σ为塑性流变应力；A为参考应变率下的屈服应力；B和n为拟合参数；
$\varepsilon$ 为塑性应变；C为应变率敏感系数；${\dot \varepsilon ^{\rm{*}}} = \dot \varepsilon /{\dot \varepsilon _0}$ ，$\dot \varepsilon$ 和${\dot \varepsilon _0}$ 分别为等效应变率和参考应变率；T*=(T–T0)/(Tm–T0)，T0、T和Tm分别为参考温度、变形温度和材料的熔点，T0和Tm分别取293 K和1800 K。单轴压缩J-C动态本构拟合时，以准静态应变率
$\dot \varepsilon$ =0.001 s-1为参考应变率，A=939 MPa，拟合得到B=326.6 MPa，n=0.24，C=–0.016 33+8.56×10–6$\dot \varepsilon$ 。采用同样方法拟合纯剪切J-C本构，$\dot \varepsilon$ =0.001 s–1，A=495 MPa，拟合得到B=92.5 MPa，n=0.21，C=0.0227–1.375×10–5$\dot \varepsilon$ +2.995×10–9${\dot \varepsilon ^2}$ 。金属材料在高应变率压缩变形过程中伴随着显著的热-力耦合效应，导致应力的热软化，在较小的时间和空间尺度上该过程为绝热过程。准静态压缩曲线可看作等温曲线，高应变率下的动态压缩曲线可看作绝热曲线，高应变率下的应变硬化率实际上是应变硬化率效应和绝热温升引起的热软化效应的综合反映[12]。理论上认为，金属材料的绝热温升由塑性变形过程中的塑性功转化而成，温升ΔT为
ΔT=βWp/(ρcp) (12) Wp=∫εp0σpdεp (13) 式中：β为热转化效率，一般取0.9；Wp为塑性功；
$ \rho$ 为材料密度，取4.47 g/cm3；cp为定压比热容，取0.576 J/(g∙K)；σp和εp分别为塑性应力和塑性应变。如图7所示，动态加载过程中绝热温升与塑性应变近似呈线性关系，且与应变率相关。以往人们在研究材料的温升软化时只考虑温升与应变率的关系，使得拟合J-C模型参数m时无法准确地表示屈服应力。绝热温升曲线的拟合公式为
单轴压缩ΔTuc=f(˙ε)ε=(809.95−0.49˙ε+1.823×10−4˙ε2−2.004×10−8˙ε3)ε (14) 纯剪切ΔTps=f(˙ε)ε=(112.31+0.0077˙ε−6.79×10−7˙ε2+1.326×10−9˙ε3)ε (15) 高应变率加载过程中变形温度T等于绝热温升ΔT，将（14）式和（15）式代入（11）式，拟合参数m，取平均值。J-C模型拟合参数列于表1。
表 1 J-C模型参数拟合结果Table 1. Fitting results of J-C model parametersCondition A/MPa B/MPa n m Uniaxial compression 939 326.6 0.24 0.661 18 Pure shear 495 92.5 0.21 0.655 48 图8为不同应变率加载下单轴压缩和纯剪切J-C模型拟合结果与SHPB动态压缩实验曲线的对比。拟合曲线很好地表现了TB6的初始屈服应力和应力的热软化现象，且相对偏差在5%以内。可以认为，该本构模型有效地预测了TB6钛合金在室温下的单轴压缩和纯剪切高应变率加载。拟合得到的完整J-C本构关系为
图 8 不同应变率下J-C模型预测与实验结果的比较Figure 8. Stress-strain cures at different strain rates from experiments and J-C model fittingσs=(939+326.6ε0.24)[1+(−0.01633+8.56×10−6˙ε)ln˙ε∗][1−(ΔTuc1780)0.66118] (16) τs=(495+92.5ε0.21)[1+(0.0227−1.375×10−5˙ε+2.995×10−9˙ε2)ln˙ε∗][1−(ΔTps1780)0.65548] (17) 3.2 屈服准则
Tresca最大剪应力准则和von Mises畸变能准则是目前应用最广泛的各向同性屈服准则。然而，大量实验结果表明，钛合金表现出明显的拉压不对称性，传统的Tresca和von Mises屈服准则无法准确地描述钛合金在复杂应力状态下的屈服行为。材料在不同应力状态下的力学响应与偏应力第三不变量J3有关。Cazacu等[13]基于J3偏应力不变量提出了拉压不对称因子，由此描述材料力学的不对称行为。Khan等[14]针对Ti-6Al-4V钛合金提出一种新型的拉压不对称因子G(σ)。本研究基于拉压不对称因子G(σ)和von Mises屈服准则，构建一种新的修正von Mises屈服准则。屈服函数为
ϕ=f(σ)G(σ)=1 (18) f(σ)=3J2/σ2s (19) G(σ)=exp[−c(ξ+1)]=1 (20) 式中：
$f(\sigma ) = 1$ 为von Mises屈服函数；σs为单轴压缩屈服应力；$\xi = {\rm{cos}}\left( {3\theta } \right) =$ $ \displaystyle\frac{{27}}{2} \cdot \displaystyle\frac{{{J_3}}}{{{(3{J_2})^{3/2}}}}$ 为Lode参数，其中θ为Lode角；c为拉压不对称系数。纯剪切加载时，
$\xi =0$ ，J2=${\tau _{\rm{s}}^2}$ ，于是（18）式简化为exp(−c)=σ2s/(3τ2s) (21) 式中：
$\tau_{\rm s}$ 为纯剪切屈服剪应力。对（21）式等号两边取自然对数，得到拉压不对称系数c为c=−2ln(σs√3τs) (22) 由此得到屈服函数
ϕ=3J2σ2sexp[2ln(σs√3τs)(ξ+1)]=1 (23) 联合（18）式、（19）式和（23）式，可以得到完整的等向强化拉压不对称屈服准则。
如图9中的初始屈服面所示，准静态加载下屈服面能够准确地预测TB6钛合金的单轴压缩、纯剪切和单轴拉伸3种应力状态的屈服应力，并能很好地预测压剪应力状态的屈服应力；在高应变率范围内，屈服面仍能很好地预测材料的屈服应力。由图10可见，高应变率加载下TB6钛合金首先经历应力强化阶段，随后塑性流变应力未出现强化，很好地预测了材料单轴压缩、压剪和纯剪切3种应力状态下塑性阶段的应力流动。
图 10 应变率3500 s-1下的后继屈服面Figure 10. Succeeding yield surface at strain rate of 3500 s-14. 结 论
利用Instron万能材料试验机和SHPB，对TB6钛合金进行了单轴、压剪和纯剪切3种应力状态的准静态和动态加载实验，得到了不同应力状态的准静态和动态应力-应变曲线，通过分析实验结果，得到如下结论：（1）TB6钛合金具有良好的塑性，准静态压缩下表现出明显的应力强化效应，高应变率单轴压缩下温升热软化效应显著，塑性应力在强化后迅速软化，而压剪加载和纯剪切加载下，材料没有表现出明显的热软化现象；（2）针对单轴加载和纯剪切加载，通过改进的J-C本构模型拟合，得到了与实验结果拟合程度较好的J-C参数，模型预测结果与实验结果的相对误差小于5%；（3）根据Khan等提出的拉压不对称因子G(σ)和von Mises屈服准则，提出一种新的修正von Mises屈服准则，该屈服准则能够很好地描述TB6钛合金的动态压剪力学行为和拉压不对称性。
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图 1 不同温度下热解吸模型解析解与裂隙页岩的实验数据对比
Figure 1. Comparison of analytical results of thermal-sorptive model and experimental data offractured shale under different temperatures
图 2 不同温度下热解吸模型解析解与完整页岩的实验数据对比
Figure 2. Comparison of analytical results of thermal-sorptive model and experimental data of intact shaleunder different temperatures
图 3 渗透率随温度和孔压的演化规律
Figure 3. Evolution of permeability withtemperature and pore pressure
图 4 不同孔压下渗透率随温度的演化规律
Figure 4. Evolution of permeability with temperatureunder different pore pressures
图 5 不同温度下渗透率随孔压的演化规律
Figure 5. Evolution of permeability with porepressure under different temperatures
图 6 恒压下泊松比对渗透率的影响
Figure 6. Effect of Poisson’s ratio on permeabilityunder constant pore pressure
图 7 恒压下孔隙体积模量对渗透率的影响
Figure 7. Effect of pore volume modulus onpermeability under constant pore pressure
图 8 恒压下线胀系数对渗透率的影响
Figure 8. Evolution of coefficient of linear expansionon permeability under constant pore pressure
图 9 恒压下Langmuir体应变对渗透率的影响
Figure 9. Evolution of Langmuir volume strain onpermeability under constant pore pressure
图 10 恒温下泊松比对渗透率的影响
Figure 10. Effect of Poisson’s ratio on permeabilityunder constant temperature
图 11 恒温下孔隙体积模量对渗透率的影响
Figure 11. Effect of pore volume modulus onpermeability under constant temperature
图 12 恒温下Langmuir体应变对渗透率的影响
Figure 12. Effect of Langmuir volume strain onpermeability under constant temperature
表 1 裂隙页岩的渗透率比
Table 1. Permeability ratio of fractured shale
Temperature/K k/k0 of fractured shale 295 1.000 303 1.044 313 1.113 323 1.211 
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表 2 完整页岩的渗透率比
Table 2. Permeability ratio of intact shale
Temperature/K k/k0 of intact shale Temperature/K k/k0 of intact shale 307.1 1.000 332.7 1.095 308.0 0.978 333.3 1.045 313.8 1.051 337.7 1.058 321.1 1.037 337.9 1.061 321.2 1.008 338.0 1.084 325.9 1.085
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