复合材料具有高比强度、高比刚度和抗冲击等优异的力学性能，被广泛应用于航空航天、汽车和船舶等领域^[1-3]。研究复合材料的微结构与力学性能的关系，对功能材料的设计具有重要指导意义。如果复合材料由两种不同性能的基础材料组成，并分别具有高强度和高韧性，在一个包含5×5个元素的复合系统中，可能的组合数量为${2^{25}}$（33554432）。传统的实验或计算方法因数据量大、实验量多等问题，难以快速获取复合材料的力学性能。机器学习作为数据驱动的强大预测工具，能够从实验或模拟数据中学习材料结构与性质的关系，通过探索有限的设计空间，快速实现复合材料力学性能预测，其超越传统计算和实验测试的能力使其在材料设计、生物结构和机械工程等领域具有广泛的应用前景^[4-6]。

近年来，机器学习在力学领域的应用大多集中在数据驱动方法、拓扑优化设计和力学性能预测等方面^[7-12]。Bessa等^[13]利用克里金法^[14]和神经网络模型开发了适用于计算分析和实验设计的数据驱动框架，使用该框架成功建立了二维超弹性复合材料的本构，并结合数值方法设计了非线弹性复合材料，结果表明，机器学习模型可以协助材料进行不同维度的本构建模和结构设计。Mozaffar等^[15]借助循环神经网络模型获得了材料系统的塑性本构模型，并分别从应力、应变以及塑性功3个方面对塑性本构的计算结果进行了评估，但该工作缺乏对神经网络模型中超参数设置的有效性分析。Liu等^[16]提出了一种新型深度材料网络，通过随机梯度下降和模型压缩算法优化了网络的拟合参数，并探索了多尺度材料系统的建模过程。Gu等^[17-18]利用卷积神经网络（convolution neural networks，CNN）设计了高强度和高断裂韧性的二维镶嵌复合材料，并通过提高材料结构图像的网格分辨率进一步优化了拓扑结构，但对准静态下复合材料抵抗拉伸断裂过程的研究不够深入。Yu等^[19]改进了深度CNN的训练方法，将其与遗传算法结合，加速了石墨烯纳米复合材料的设计流程，并对机器学习方法提高材料韧性的机制进行了研究，结果表明，引入软材料的边缘分布，成功使裂纹尖端区域集中的剪应力分散至无裂纹区域，进而显著提高了材料的韧性。Yang等^[20]结合主成分分析（principal component analysis，PCA）和CNN方法预测了复合材料在准静态下拉伸失效的应力-应变曲线，并用于推导复合材料的模量、强度和韧性。综合上述有关机器学习方法在力学方面的研究工作可以看出，其研究对象大多为二维复合材料，研究情景局限于准静态下的拉伸或者压缩，缺乏对三维复合材料在高应变率下的动态力学行为分析，对机器学习模型的架构设计和预测性能的评估也缺乏深入的探讨。

为此，本研究通过分离式霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）实验装置和数值模拟方法探讨3D打印两相复合结构在冲击作用下的动态力学响应，对比分析不同架构的卷积神经网络预测数据的能力，最后利用PCA和CNN预测复合材料的动态应力-应变曲线，以期为机器学习方法在动力学领域的应用提供一定的依据。

1.   实验方法与材料

1.1   动态力学实验方法

SHPB技术广泛应用于材料动态力学性能研究^[21-23]。本实验使用直径为14.5 mm的杆对3D打印复合试样进行动态压缩测试，如图1(a)所示。撞击杆的长度为300 mm，入射杆和透射杆的长度为1000 mm，子弹和杆的材质均为钢材（钢的弹性模量为210 GPa，波速为5160 m/s），撞击速度v₀为10 m/s。

图  1  实验装置和典型结果

Figure  1.  Experimental device and typical results

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子弹撞击入射杆左端后产生入射波，通过应变片采集入射杆上的入射波和反射波信号，在透射杆上采集透射波信号。根据一维应力波理论和均匀性假定^[24]，采用二波法^[25]计算试样的应变率、应变和应力，最终得到动态加载下复合试样的工程应力-应变曲线。实验时，采用高速摄影技术捕捉复合试样的动态压缩过程，高速摄像机型号为Photron FASTCAM SA5，摄影帧率设置为150 000幅每秒，图片像素为384×224。

1.2   3D打印两相复合材料

光固化3D打印是一种利用光固化原理和计算机三维模型进行逐层堆叠、快速成型的增材制造技术，通过光固化和3D打印设备配套的光敏树脂材料，可以实现从微观到宏观尺度复杂结构的高效制造。利用中国科学技术大学微纳中心的Object 260 Connex 3D打印机打印具有特定结构的两相复合材料，打印精度为0.01 mm。打印时，所使用的光敏树脂打印材料分别为白色不透明硬质材料Vero White和黑色类橡胶材料Agilus 30 Black，选择FullCure 705为支撑材料。然后，利用3D打印软件将复合试样的三维模型以切片形式发送至3D打印机，打印温度为90 ℃时进行打印。根据光固化成型后两种材料的软硬程度不同，分别称Vero White和Agilus 30 Black为硬材料和软材料，打印得到的复合试样尺寸为7.5 mm×7.5 mm×7.5 mm。

为了研究软材料和硬材料的动态力学性质，分别对3D打印得到的纯软材料和纯硬材料试样进行动态压缩实验，得到了图1(b)中所示的原始波形曲线。可以看出，在入射波的加载幅值相同的情况下，纯硬材料试样的透射波幅值明显高于纯软材料试样。将波形数据进行相应的数据处理，可得到应变率约为1000 s⁻¹的真实应力-应变曲线，如图1(c)所示。可见，受冲击时硬材料的强度远高于软材料，但纯硬材料试样更容易产生破坏，从而导致应力降低；而在相同的实验条件下，纯软材料试样因具有超弹性特性，受压变形时的体积保持不变，相较于纯硬材料试样，可以达到更大的变形，说明软材料具有一定的缓冲能力。将硬材料作为基体，软材料作为基质，将其按照一定的结构进行组合，可以得到具有特定力学性能的两相复合材料。

2.   数值模拟与卷积神经网络

2.1   数值模拟

相比复杂的实验过程，数值模拟方法可以更高效、快速地计算出大量的数据。基于连续介质力学理论，利用ABAQUS显式动力学建立3D打印复合材料的SHPB有限元模型。如图2(a)所示，模型中入射杆和透射杆的长度与实验一致，杆的材质设置为钢材，其密度、弹性模量及泊松比分别设置为7887 kg/m³、210.0 GPa和0.30。复合试样位于入射杆与透射杆之间。

图  2  数值模拟方法

Figure  2.  Numerical simulation method

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在接触分析中，为了使计算结果更易收敛，试样与两杆的接触面采用摩擦系数为0.1的硬接触^[26]。为了模拟3D打印两相复合材料中的软/硬材料分布，将复合试样划分成25块尺寸为1.5 mm×1.5 mm×7.5 mm的长方块体，每个长方块体被赋予硬材料或软材料属性，并且在每个长方块体之间插入厚度为零的Cohesive单元，用于模拟动态压缩过程中材料块之间的层间界面^[27]。模型中的Cohesive单元被赋予双线性内聚力模型^[28]，破坏类型为Maxedamage，根据实验结果，Cohesive单元的最大强度${\sigma _{\max }}$和初始损伤分离量${\delta _0}$分别设置为20 MPa和0.005 mm，法向刚度K和完全破坏分离量${\delta _{\rm c}}$分别为4 GPa/mm和0.06 mm。

复合试样中的材料参数根据图1(c)中动态实验测得的数据来定义。对于硬材料Vero White，采用弹塑性本构^[29]，根据实验的真实应力-应变曲线，其弹性模量为2637 MPa，屈服强度为90 MPa；在ABAQUS中选择Mises屈服准则，利用插值法直接输入从应力-应变曲线上得到的塑性应变以及对应的塑性应力，最大塑性应变为0.12；采用延性损伤模型模拟硬材料的压缩破坏过程，破坏应变设置为0.1。软材料Agilus 30 Black为类橡胶材料，其密度为1200 kg/m³，在高应变率下的应力-应变关系表现为典型的超弹性^[30]，因此在有限元模型中采用二阶多项式$W$作为软材料的超弹性本构^[30]，表达式为

式中：${I_1}$和${I_2}$为左柯西格林形变张量的两个应变不变量；${C_{ij}}$为模型参数，可通过最小二乘法拟合软材料的应力-应变曲线得到，具体取值见表1。

表  1  软材料的超弹性本构模型参数

Table  1.  Hyperelastic constitutive model parameters for soft material

${C{_{10} }}$	${C{_{01} }}$	${C{_{20} }}$	${C{_{11} }}$	${C{_{02} } }$
−270	290	−1 150	−3 180	2 350

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划分网格时，入射杆、透射杆和复合试样的单元类型为八节点线性六面体单元C3D8R，Cohesive单元类型为八节点零厚度的内聚力单元COH3D8，并且在复合试样网格单元和Cohesive网格单元的控制属性中均选择单元删除。计算时，在入射杆的入射端截面施加随时间变化的同一应力载荷，其脉宽和幅值分别为160 μs和220 MPa，选取入射杆和透射杆中部界面输出应力信号，模拟完成后可得到如图2(b)所示的入射波形和透射波形，结合前面所述的数据处理方法，最终得到复合试样在仿真动态加载下的应力-应变曲线。如图1(c)所示，采用SHPB有限元模型计算得到的纯硬材料和纯软材料的动态应力-应变曲线与实验获得的动态应力-应变曲线具有较好的一致性。

2.2   CNN模型的数据集

CNN具有从实验数据中隐性学习的能力，其学习过程依赖于所提供的数据集。CNN模型的数据集主要由输入数据和对应的输出数据构成，将有限元模型中复合试样的软/硬材料结构分布图像作为CNN模型的输入数据，对应的应力-应变曲线降维后形成的数值矩阵作为CNN模型的输出数据。数值模拟时，利用Python脚本将软/硬材料属性随机赋予到已划分好的长方块体模型中。如图3中所示，为了提取软/硬材料的分布特征，选择有限元模型中复合试样的xz平面（z方向为冲击方向）作为材料分布图像，然后对其进行数字编码。编码时，将分布图像的网格转换为由0和1组成的二维数组，其中软材料单元格赋值为0，硬材料单元格赋值为1，最终得到维度为20×20的二值数组，将其视为CNN模型中的一组输入数据。

图  3  材料分布图像的编码过程

Figure  3.  Coding process of material distribution image

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为了得到充足的训练样本，随机选取了1000组具有不同软/硬材料分布的两相复合材料有限元计算模型，得到了1000组软/硬材料分布图像数组和对应的应力-应变曲线，而应力-应变曲线是由多对应力和应变的数值点构成，其数据维度为高维。为了避免输出数据的维度灾难，可利用PCA将应力-应变曲线从高维数据降为低维数据^[31]。在使用PCA法之前，需要对数据进行中心化和标准化预处理。首先固定76个应变点作为恒定的应变数据，分别提取1000组应力-应变曲线中应变所对应的应力值点作为原始应力矩阵$\boldsymbol S = {\left[ {{s_1},{s_2}, \cdots ,{s_{76}}} \right]^{\rm T}}$，分别计算矩阵$\boldsymbol S$每一列的均值 ${\mu _i}$ 以及最大值与最小值之差${d_i}$，利用式(2)对$\boldsymbol S$进行中心化和标准化处理

式中：$i = 1,2, \cdots ,76$，$\boldsymbol X = {\left[ {{x_{1}},{x_2}, \cdots, {x_{76}}} \right]\rm^T}$是维度为1000×76且服从标准正态分布的矩阵。

将矩阵$\boldsymbol X$进行奇异值分解（singular value decomposition，SVD）

式中：$\boldsymbol U$、$\boldsymbol V$均是维度为1000×76的正交矩阵，Σ是维度为76×76的对角矩阵。为了将应力值点从76维降低到更符合CNN模型输出的16维，选取Σ中前r列作为主成分分量并记作${{\boldsymbol{\varSigma}} _r}$，其中$r = 16$，即得到降维后的数据${\boldsymbol Y_r}$

降低维度后的数据${\boldsymbol Y_r}$的维度为1000×16，将其作为CNN模型的输出数据输入CNN模型进行训练。图4(a)显示了其中一组原始应力-应变曲线在固定应变点后选取的76个应力值点，采用PCA方法后可使其维度降低为图4(b)所示的16个维度。从1000组由材料分布矩阵和对应的PCA数值矩阵所构成的数据集中随机选取900组作为CNN模型的训练数据集，剩余的100组作为验证数据集。

图  4  应力-应变曲线的降维过程

Figure  4.  Dimensionality reduction process of stress-strain curve

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2.3   CNN模型

建立如图5所示的CNN模型，用于预测动态加载下两相复合材料的应力-应变曲线。CNN模型中主要包含卷积层（convolution layer）、池化层（pooling layer）和全连接层（full connected layer）等基本元素。在卷积层中主要进行卷积操作，如图6(a)所示，卷积层中的卷积核（convolution kernel）以长度为1的步幅滑动扫描输入图像矩阵，并进行卷积计算（张量的点积），把一次滑动计算的数据拼接组合，当所有卷积操作完成后即可得到特征输出矩阵（feature map）。为了增强CNN的非线性和拟合能力，通常在卷积操作之后引入激活函数，统一采用ReLU函数^[32]作为激活函数。为了减少CNN模型中训练参数的数量，降低CNN结构的复杂度，在连续的卷积层之间添加了池化层，通过池化层的池化操作可以对卷积层的特征矩阵进行下采样，采用最常见的最大池化下采样，采样过程如图6(b)所示。在经历连续的卷积层和池化层之后，将得到的特征矩阵进行一维化处理，并与全连接层相连，全连接层可以将学习到的特征映射到目标样本空间，从而进行非线性回归，使模型进行训练，并达到拟合的目的。为了评价CNN模型的拟合能力，采用均方误差（mean square error，MSE）函数作为损失函数，所计算的均值为训练样本后得到的损失值。均方误差函数为

图  5  卷积神经网络的架构

Figure  5.  Architecture of convolutional neural networks

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图  6  卷积和最大池化过程

Figure  6.  Process of convolution and maximum pooling

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式中：$\varDelta$为均方误差，${y_i}$和${\hat y_i}$分别为预测值和真实值，$n$为样本总数。

训练时，当损失值降到目标值且基本不再变化时，即可认为模型达到收敛。

在训练开始之前，还需要为CNN设置相关参数。学习率（learning rate）是每次训练时参数更新的幅度大小，决定着CNN模型能否在合适的时间内收敛到局部最小值，将其设置为0.001。模型训练次数（epochs）和每次读取数据的批量（batch size）分别取为200和20。CNN模型使用TensorFlow 2.0和Python语言实现，并在NVIDIA GeForce GTX 2070s GPU平台上进行训练和试验。

3.   结果分析与预测

3.1   复合材料的动态力学性能

复合材料的力学性能与组成复合试样的微结构之间的界面有关^[33]。在复合材料动态压缩的SHPB有限元模型中采用了Cohesive单元模拟材料块之间的界面。为了研究冲击过程中界面失效对复合试样力学性能的影响，选取了图7(a)中具有Cohesive单元和不具有Cohesive单元的复合试样模型进行数值模拟，分别计算得到两种模型的应力-应变曲线，并与实验曲线进行对比。可以看出：数值模拟时，复合试样的材料块之间若设置为完美连接，会导致复合试样的应力高于实验结果；而引入Cohesive单元作为材料块之间的界面后，计算得到的应力变低，复合试样整体的应力变化趋势更接近实验曲线。图7(b)中对比了3种曲线的峰值应力和最大应变，可以看出，冲击时材料块之间的界面失效会降低复合试样的强度和极限应变，具有Cohesive单元的复合试样模型计算结果更加准确。为了进一步分析复合试样的界面破坏模式，图7(c)分别显示了实验、数值模拟中具有Cohesive单元和不具有Cohesive单元复合试样的动态变形过程。从模拟结果可以看出，在0～35 μs阶段，随着压缩应力的增大，复合试样整体的应力呈上升趋势。t=70 μs时，具有Cohesive单元的模拟结果表明，应力主要集中在软/硬材料块的接触区域，位于复合试样中部位置的软材料块因受到轴向压缩应力的作用，其末端及与之相连的硬材料块和周围的硬材料块之间产生了界面损伤，界面的失效模式以压缩破坏为主导，与实验中复合试样界面开始破坏的结果一致；而不具有Cohesive单元的模拟结果未出现界面失效。105～140 μs阶段，从实验结果可以看出，复合试样中部位置的软材料块压缩变形明显比硬材料块更大，材料块之间更容易发生剪切破坏，压缩过程中包含压缩破坏和剪切破坏两种失效模式，进而导致材料块之间的界面损伤面积进一步增加直至最大。对比两种计算模型的结果可以看出，具有Cohesive单元的计算模型的界面失效过程更符合实验结果，同时说明复合材料中软/硬材料所组成的结构和材料块之间界面失效模式的存在增加了复合材料动态力学性能分析的复杂度。

图  7  冲击下复合试样的变形分析

Figure  7.  Deformation analysis of composite specimen under impact

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3.2   复合材料的动态力学特性预测

3.2.1   CNN模型的预测能力

CNN学习的本质是通过样本数据训练一系列参数建立输入数据与输出数据的关系，其学习能力主要取决于CNN模型中参数的设置，而设置超参数可以在CNN学习之前确定参数的种类和数量。在深度学习中，通常根据经验选取和设置超参数，为了提高CNN模型的预测性能，需要在所给的样本空间中搜索最佳组合的超参数。输入CNN模型中的材料分布图像尺寸较小且具有相对规则的形状，可减轻对卷积层的数量需求，而卷积层中卷积核提取图像特征的能力和全连接层中隐含层的数量直接影响模型的预测能力，因此本研究主要从卷积核大小、卷积核数量和全连接层隐含层的层数3个方面研究CNN模型的预测性能。CNN模型中的卷积层和全连接层分别用Conv(·)和FC(·)表示，例如：Conv(32, 3)表示卷积层有32个卷积核，大小为3×3，FC(256, 128)表示全连接层为2层，所包含的神经元数量分别为256和128。设计了6种不同架构的CNN模型，在训练集上训练每个模型，同时用验证集评估其在未知数据集上的泛化能力，CNN模型在验证集上的目标损失值越小，代表其预测性能越高。图8(a)显示了每种架构的模型在验证集上损失值的变化过程，可以看出，模型4的预测性能最佳。

图  8  CNN模型的性能

Figure  8.  Performance of CNN models

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对每种CNN的架构、参数总数和性能进行统计，结果如表2所示。表2中，模型1的验证损失值低于模型2，说明卷积核的大小为3×3时识别目标图像特征的能力更强。模型3在模型1的基础上增加了第2个卷积层中卷积核的数量，进一步增加第1个卷积层中卷积核的数量可得到模型4，结果表明，适当增加卷积核数量可以提高CNN的拟合能力，并解决欠拟合问题。通过对比模型3、模型5和模型6的目标损失值可以推断，增加全连接层中隐含层的数量降低了CNN的预测性能，说明过多的隐含层会导致CNN在训练数据集时更容易出现过拟合问题。增加或减少卷积核和隐含层的数量，本质上是调整模型的训练参数，参数的总数越多，训练CNN所耗费的时间越长。图8(b)显示了模型的参数总数和目标损失值的变化关系，可以看出，增加卷积层中参数的数量可以提高模型的预测性能，而增加全连接层的深度和参数数量则会降低模型的预测能力。通过分析CNN模型的性能，最终选择模型4用于预测复合材料的应力-应变曲线。

表  2  不同CNN架构的性能比较

Table  2.  Performance comparison of different CNN architecture

No.	CNN architecture	Total parameters	Validation loss	Training time/s
1	Conv(32, 3)+Conv(32, 3)+FC(128, 64)	23344	0.064	131
2	Conv(32, 5)+Conv(32, 5)+FC(128, 64)	39728	0.066	163
3	Conv(32, 3)+Conv(64, 3)+FC(128, 64)	36816	0.059	167
4	Conv(64, 3)+Conv(64, 3)+FC(128, 64)	55696	0.057	181
5	Conv(32, 3)+Conv(64, 3)+FC(256, 128, 64)	78032	0.060	223
6	Conv(32, 3)+Conv(64, 3)+FC(256, 128, 64, 32)	79600	0.068	249

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3.2.2   应力-应变曲线预测分析

训练完成后的CNN模型可以根据复合材料的软/硬材料分布推断出应力-应变曲线。为了验证CNN模型的预测能力，从测试集的输入数据中随机选取4种具有不同材料分布的复合试样，如图9(a)所示，其软材料与硬材料的体积比均为2∶3，分别编号为A、B、C和D。将这4种复合结构试样分别置于SHPB有限元模型中进行计算，其中z轴负方向为冲击方向，计算得到的应力-应变曲线作为真实值。图9(b)中展示了每种复合试样的动态压缩变形过程和应力分布云图。

图  9  复合试样的结构与计算结果

Figure  9.  Structures and simulation results of composite specimens

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从图9中可以看出，冲击过程中，在软/硬材料块的接触界面易于产生应力集中，不同复合试样因材料分布不同而导致其变形过程各异。复合试样A中的部分软材料块出现横向交错分布，致使试样在轴向压缩时发生剪切变形。复合试样B和复合试样C中的不同位置处出现了明显的破坏现象，导致材料块之间发生了界面分离，而复合试样D的变形较为均匀。这4种复合试样的计算结果进一步表明了复合材料动态力学性能分析的复杂性。

相较于有限元中复杂的计算过程，CNN模型可以直接识别复合结构中软/硬材料的分布，结合PCA法可以快速预测复合材料的应力-应变曲线。使用CNN模型进行预测时，先将4种复合结构的软/硬材料分布图像数组输入CNN模型，然后对输出的PCA值进行逆变换，即可得到预测的应力-应变曲线。在进行PCA逆变换时，首先需要将维度为1000×16的${\boldsymbol Y_p}$还原成1000×76的标准正态分布矩阵${{\boldsymbol X}_p}$

式中：${{\boldsymbol X}_p} = {\left[ {{x_{p_1}},{x_{{p_2}}}, \cdots, {x_{{p_{76}}}}} \right]\rm^T}$，然后对每个应变点对应的应力值分量进行还原

可得到预测的应力矩阵${{\boldsymbol S}_p} = {\left[ {{s_{{p_1}}},{s_{{p_2}}}, \cdots ,{s_{{p_{76}}}}} \right]\rm^T}$，最后将${\boldsymbol S}_p$和固定的应变点结合，即可得到复合结构的应力-应变曲线。对比了4种复合结构的预测应力-应变曲线和模拟应力-应变曲线，结果如图10所示。可以看出，CNN模型的预测曲线与计算曲线基本吻合。在动态压缩的初始阶段，复合结构的应力随应变呈线性关系，说明CNN模型能够根据复合结构的材料分布特征准确预测应力-应变曲线的线性部分。随着压缩应变的增大，复合结构的应力增长趋势呈现非线性的特征，对比复合结构A、B和C的预测结果，可以看出，CNN模型的预测曲线仍可以有效地预测应力-应变曲线的非线性部分，说明CNN模型具有学习曲线复杂非线性行为的能力。而在复合结构D的预测结果中，当应变约为0.025时，应力开始降低，这种状态持续至应变约为0.035时结束。复合结构D中的应力局部降低行为与其他3种复合结构不同，它扩大了应力-应变曲线的非线性特征，使得CNN模型的预测曲线在学习计算曲线的非线性部分时更容易产生更大的误差，但预测曲线的应力增长趋势仍与计算曲线保持一致。

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图  10  复合材料的预测应力-应变曲线

Figure  10.  Predicted stress-strain curves of the composites

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4.   结　论

通过动态压缩实验和有限元数值模拟研究了3D打印复合材料的动态力学行为，并设计了一种CNN模型，结合PCA方法，预测了两相复合材料的动态应力-应变曲线，主要结论如下。

(1) 冲击加载下，特定结构的两相复合材料存在界面破坏，采用具有Cohesive单元的有限元模型计算得到的应力-应变曲线和动态变形过程更接近实验结果。

(2) 通过对比不同架构的CNN模型在验证集上的训练结果，证明了CNN模型的预测性能与超参数的设置有关，其中增加卷积核的大小和隐含层的层数将降低CNN模型的预测性能，而增加卷积核的数量可提高CNN模型的拟合能力。

(3) 本研究的CNN模型通过识别两相复合材料中软/硬材料分布特征，利用PCA降维和还原方法成功预测了两相复合材料的动态应力-应变曲线，同时结合有限元计算结果进行对比分析，证明了CNN模型具有学习曲线线性和非线性特征的能力。研究结果可为研究机器学习方法和复合材料的力学性能提供一定的参考。