柱面SH波作用下管道的动力响应

雷鸣; 张茂晨; 秦子豪; 杨民; 张维; 路世伟

doi:10.11858/gywlxb.20220690

柱面SH波作用下管道的动力响应

doi: 10.11858/gywlxb.20220690

雷鸣^{1, 2,},
张茂晨¹,
秦子豪^{1, 2},
杨民^{1, 2},
张维¹,
路世伟^{1, 2,*, ,}

1.
长江大学城市建设学院, 湖北荆州　434023
2.
长江大学油气地下储库研究中心, 湖北荆州　434023

基金项目: 中国石油科技创新基金（2017D-5007-0604）；湖北省自然科学基金（2019CFB224）；爆破工程湖北省重点实验室开放基金（HKLBEF202011）

详细信息

作者简介:
雷　鸣（1974－），男，博士，副教授，主要从事油气储运工程安全评估及预警技术研究.E-mail：88456455@qq.com

通讯作者:
路世伟（1989－），男，博士，副教授，主要从事岩石动力学、岩土体稳定性研究.E-mail：lushiwei364@163.com

中图分类号: O347
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出版历程
- 收稿日期: 2022-11-09
- 修回日期: 2022-12-21
- 录用日期: 2023-02-24
- 网络出版日期: 2023-04-13
- 刊出日期: 2023-04-05

Dynamic Response of Pipeline Subjected to Cylindrical SH Wave

LEI Ming^{1, 2
,},
ZHANG Maochen¹,
QIN Zihao^{1, 2},
YANG Min^{1, 2},
ZHANG Wei¹,
LU Shiwei^{1, 2,*
, ,}

1.
School of Urban Construction, Yangtze University, Jingzhou 434023, Hubei, China
2.
Research Center of Underground Oil and Gas Storage, Yangtze University, Jingzhou 434023, Hubei, China

摘要

摘要: 在地下空间开发建设过程中，钻爆法开挖诱发的爆破地震波对地下管道安全至关重要。当爆源距离管道较近时，波阵面的曲率会对管道的爆破动力响应特性产生显著影响。采用波函数展开法研究了柱面SH波爆破作用下管道的动应力集中问题，首先讨论了混凝土管道和PVC管道的动应力集中系数分布规律，进而探讨了一般情况下波源到管道轴线距离、入射波频率以及管道与土层剪切模量比η对管道内壁动应力集中系数的影响。结果表明：相较于PVC管道，混凝土管道内壁的动应力集中系数分布形状对柱面SH波频率较敏感；η是影响管道动应力集中系数的重要指标，当入射波频率一定时，随着η的增大，管道最大动应力集中系数也逐渐增大；η一定时，随着入射波频率增大，管道最大动应力集中系数逐渐减小；波源到管道轴线距离会因波阵面曲率对管道破坏位置产生影响，而其对最大动应力集中系数的影响较小。
- 柱面SH波 /
- 管道 /
- 频率 /
- 动应力集中系数 /
- 管道与土层剪切模量比
Abstract: In the process of underground space development and construction, the blasting seismic wave induced by drilling and blasting is very important to the safety of underground pipeline. When the explosion is close to the pipe, the curvature of the wave front will have a significant impact on the blasting dynamic response of the pipe. In this paper, the wave function expansion method was used to study the dynamic stress concentration of pipelines under the blasting effect of cylindrical SH wave. The distribution law of the dynamic stress concentration factor (DSCF) of concrete pipe and PVC pipe was discussed. Then the effects of the distance from the wave source to the pipe axis r₀, the incident frequency of cylindrical SH waves, and the shear modulus ratio η of the pipe and soil layer on the DSCF of the pipe inner wall were also discussed. The results show that the distribution shape of DSCF of the inner wall of the concrete pipe is more sensitive to the frequency of cylindrical SH wave than that of PVC pipe. η is an important index affecting the concentration of dynamic stress in the pipeline. When the incident wave frequency is constant, the maximum DSCF of the pipeline increases with the increase of η. When η is constant, the maximum DSCF decreases with the increase of incident frequency. The distance from the wave source to the pipe axis influences the failure position of the pipeline due to the curvature of the wave front, but it has little effect on the maximum DSCF value.
- cylindrical SH wave /
- pipeline /
- frequency /
- dynamic stress concentration factor /
- shear modulus ratio of pipeline to soil layer

HTML全文

随着城市化进程的不断推进，越来越多的地下空间被开发。在地下空间建设过程中，由于工程地质条件的复杂性及施工成本考虑，越来越多的工程采用钻孔爆破开挖法进行施工。然而在钻孔爆破开挖施工过程中，爆破地震波往往会威胁到临近地下空间中管道的安全，因此，深入研究地下结构在爆破地震波作用下的动力响应具有重要的理论和实用价值。

关于弹性波在含障碍物的散射及动力集中问题，国内外学者已经开展了大量的研究。Pao等^[1]针对圆柱体含有夹杂的动应力集中问题进行了研究。Baron等^[2]首次运用积分变换法和波函数展开法研究了圆柱空腔结构的弹性波散射问题。Yi等^[3]采用傅里叶-贝塞尔展开法研究了均匀介质中圆形空腔和衬砌隧道在平面波作用下的动力响应。Lee等^[4-5]研究了平面SV波在地下圆柱形空腔中的散射问题及地下圆柱形空腔对平面纵波散射的影响。我国许多学者也就此问题开展了研究。刘殿魁等^[6]利用复变函数方法对无限空间各向异性介质中入射SH波对圆孔散射问题进行了研究。齐辉等^[7]在复平面上求解了半无限空间中SH波对浅埋圆形衬砌结构的散射和动应力集中问题。许华南等^[8]采用复变函数、格林函数法研究了SH波作用下地下复杂衬砌结构的地震动问题。梁瑞等^[9]、纪冲等^[10]采用ANSYS/LS-DYNA程序研究了爆破荷载下埋地管道的动力响应问题。周俊等^[11]运用弹性波动理论方法研究了上土下岩地层中平面SH波的传播特性。曹天阁^[12]采用波函数展开法和虚拟镜像法研究了含单个圆孔半无限平板内弹性波的动应力集中与破坏问题。Lu等^[13-14]采用波函数展开法研究了柱面Ｐ波作用下圆形洞室的动应力集中和振动速度分布。王进^[15]通过多极坐标以及复变函数法研究了SH波作用下正交各向异性凹陷地形中浅埋一个各向同性圆柱夹杂的动应力集中问题。

在过去，相关研究将爆炸波视为平面波，此简化适用于震源较远的情况。然而，钻孔爆破作业有时必须在靠近现有地下结构的区域进行，平面波的假设不再适用，必须考虑波前的曲率。因此，一些研究人员开始研究圆柱波的传播。Li等^[16]研究了柱面P波引起的地面运动。Chai等^[17-18]研究了柱面纵波在节理岩体中的传播和柱面P波的传播。Yi等^[19]研究了柱面P波作用下非完美界面圆形衬砌隧道的动应力集中问题。到目前为止，关于柱面SH波诱导地下结构动力响应的理论研究还很少。为此，本研究拟采用波函数展开法探究柱面SH波爆破作用下管道的动应力集中问题，首先讨论混凝土管道和PVC管道的动应力集中系数（dynamic stress concentration factor，DSCF）分布规律，进而分析一般情况下波源到管道轴线距离r₀、入射波频率f以及管道与土层剪切模量比η对管道内壁动应力集中系数的影响。

1. 柱面SH波与围岩的相互作用

1.1 简化模型

柱面SH波与围岩相互作用的简化模型如图1所示，一条内、外半径分别为a、b的圆形管道位于土壤中，O₁x₁y₁为谐波扩张线源位于O₁处的局部坐标系，O₂x₂y₂为原点位于圆形管道圆心的坐标系，以O₂x₂y₂为整体坐标系。P为土体中任意一点，P与O₁的距离为r₁，与O₂的距离为r₂，O₁与O₂的距离为r₀。

图 1 简化模型

Figure 1. Simplified model

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在O₁处，由线源产生的单位振幅简谐柱面SH波位移函数可表示为

${W^{\rm(i)}} = H_0^{(1)}( {{\beta _1}{r_1}}){{{\rm{e}}} ^{ - {\rm{i}}\omega t}}$

(1)

式中： ${H}_{0}^{(1)}(x)$ 为第一类零阶Hankle函数；β₁为波数，β₁=ω/C_{S 1}，ω为入射波的角频率，C_{S 1}为波速， ${C_{\rm{S1}}} = \sqrt {{\mu _1}/{\rho _{\rm{s}}}}$ ，μ₁为Lamé常数，ρ_s为土壤密度。

一般来说，当柱面SH波遇到管道时，在土壤中会产生向外传播的反射SH波，并且在管道中会产生向外和向内传播的SH波，即反射的SH波（W^(r)）和折射的SH波（W^(f)），它们的形式均为

${W^{\rm{(r)}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{B_n}H_n^{(1)}( {{\beta _1}{r_2}} )} \cos (n{\theta _2}){{\rm{e}} ^{ - {\rm{i}}\omega t}}$

(2)

${W^{\left( \rm{f} \right)}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{C_n}H_n^{(1)}( {{\beta _2}{r_2}} )+{D_n}H_n^{(2)}( {{\beta _2}{r_2}} )} \right]} \cos (n{\theta _2}){{\rm{e}} ^{ - {\rm{i}}\omega t}}$

(3)

式中：B_n为未知变量参数， $\beta _2$ 为管道中的横波波数， ${H}_{n}^{(1)}(x)$ 为n阶第一类Hankle函数， ${H}_{n}^{(2)}(x)$ 为n阶第二类Hankle函数。

为了得到岩体中的位移，需要将O₁x₁y₁中的W⁽ⁱ⁾转换为O₂x₂y₂，即进行以下转换

$\begin{gathered} H_n^{(1)}({{\beta _1}{r_1}})\left[ \begin{gathered} \cos( n{\theta _1}) \\ \sin (n{\theta _1}) \\ \end{gathered} \right] = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^m}{J_m}({{\beta _1}{r_0}})} H_{m+n}^{(1)}({{\beta _1}{r_2}} )\left[ \begin{gathered} \cos [\left( {m+n} \right){\theta _2}] \\ \sin[ \left( {m+n} \right){\theta _2}] \\ \end{gathered} \right] \;\;\;\;\;\;\;\; {r_0} < {r_2} \\ \\ \end{gathered}$

(4)

$H_n^{(1)}({{\beta _1}{r_1}})\left[ \begin{gathered} \cos (n{\theta _1}) \\ \sin( n{\theta _1}) \\ \end{gathered} \right] = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^m}H_m^{(1)}( {{\beta _1}{r_0}} )} {J_{m+n}}({{\beta _1}{r_2}} )\left[ \begin{gathered} \cos[ \left( {m+n} \right){\theta _2}] \\ \sin [\left( {m+n} \right){\theta _2} ] \\ \end{gathered} \right] \;\;\;\;\;\;\;{r_2} \leqslant {r_0}$

(5)

由于主要关注r₂≤r₀区域的动态响应，因此式(5)适用。将式(5)代入到式(1)，则位移可以表示为

${W^{\rm(i)}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{ \varepsilon _n}H_n^{(1)}({{\beta_1}{r_0}})} {J_n}({{\beta _1}{r_2}})\cos (n{\theta _2}){{\rm{e} }^{ - {\rm{i}}\omega t}}{\text{ = }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_{0n}}{J_n}( {{\beta _1}{r_2}} )} \cos (n{\theta _2}){{\rm{e} }^{ - {\rm{i}}\omega t}}$

(6)

式中： ${A_{0n}} = {\left( { - 1} \right)^n}{ \varepsilon _n}H_n^{\left( 1 \right)}\left( {{\beta _1}{r_0}} \right)$ ，当 $n > 0$ 时， ${\varepsilon _n} = 2$ ，否则 ${\varepsilon _0} = 1$ 。

1.2 解决方案

使 ${W_1} = {W^{(\rm{i})}}+{W^{\rm(r)}},{\text{ }}{W_2} = {W^{\left(\rm{ f} \right)}}$ ，边界条件可表示为

当r₂=b时

$\left\{ \begin{gathered} {W_1}{\text{ = }}{W_2} \\ {\tau _{r{\textit{z}}1}} = {\tau _{r{\textit{z}}2}} \\ \end{gathered} \right.$

(7)

当r₂=a时

${\tau _{r{\textit{z}}}} = 0$

(8)

根据O₂x₂y₂中位移与应力的关系，可以表示为

$\left\{ \begin{gathered} {\tau _{r{\textit{z}}1}} = {\mu _1}\frac{{\partial {W_1}}}{{\partial {r_2}}} \\ {\tau _{\theta {\textit{z}}1}} = {\mu _1}\frac{1}{{{r_2}}}\frac{{\partial {W_1}}}{{\partial {\theta _2}}} \\ {\tau _{r{\textit{z}}2}} = {\mu _2}\frac{{\partial {W_2}}}{{\partial {r_2}}} \\ {\tau _{\theta {\textit{z}}2}} = {\mu _2}\frac{1}{{{r_2}}}\frac{{\partial {W_2}}}{{\partial {\theta _2}}} \\ \end{gathered} \right.$

(9)

式中： ${\mu _2}$ 为管道的剪切模量。忽略时间常数，应力和位移可以表示为

$\left\{ \begin{gathered} {W_1} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{A_{0n}}{J_n}({{\beta _1}{r_2}})+{B_n}H_n^{(1)}( {{\beta _1}{r_2}} )} \right]} \cos (n{\theta _2}) \\ {W_2} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{C_n}H_n^{(1)}({{\beta _2}{r_2}})+{D_n}H_n^{(2)}({{\beta _2}{r_2}} )} \right]} \cos (n{\theta _2}) \\ {\tau _{r{\textit{z}}1}} = \frac{{{\mu _1}}}{{{r_2}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{A_{0n}}{\varepsilon _{11}}({n,{r_2}} )+{B_n}{\varepsilon _{12}}({n,{r_2}})} \right]} \cos( n{\theta _2}) \\ {\tau _{\theta {\textit{z}}1}} = \frac{{{\mu _1}}}{{{r_2}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{A_{0n}}{\varepsilon _{21}}({n,{r_2}})+{B_n}{\varepsilon _{22}}( {n,{r_2}} )} \right]} \sin (n{\theta _2}) \\ {\tau _{r{\textit{z}}2}} = \frac{{{\mu _2}}}{{{r_2}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{C_n}{\varepsilon _{31}}({n,{r_2}} )+{D_n}{\varepsilon _{32}}({n,{r_2}})} \right]} \cos (n{\theta _2}) \\ {\tau _{\theta {\textit{z}}2}} = \frac{{{\mu _2}}}{{{r_2}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{C_n}{\varepsilon _{41}}({n,{r_2}})+{D_n}{\varepsilon _{42}}({n,{r_2}})} \right]} \sin (n{\theta _2}) \\ \end{gathered} \right.$

(10)

考虑到边界条件，有

$\left\{ \begin{gathered} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{A_{0n}}{J_n}({{\beta _1}b})+{B_n}H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} ) - {C_n}H_n^{(1)}( {{\beta _2}b}) - {D_n}H_n^{(2)}( {{\beta _2}b})} \right]} \cos (n{\theta _2}){\text{ = }}0 \\ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left\{ {{A_{0n}}{\varepsilon _{11}}( {n,b} )+{B_n}{\varepsilon _{12}}({n,b}) - \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}\left[ {{C_n}{\varepsilon _{31}}({n,b})+{D_n}{\varepsilon _{32}}({n,b})} \right]} \right\}} \cos (n{\theta _2}){\text{ = 0}} \\ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{C_n}{\varepsilon _{31}}({n,a} )+{D_n}{\varepsilon _{32}}({n,a})} \right]\cos } (n{\theta _2}){\text{ = }}0 \\ \end{gathered} \right.$

(11)

通过对式(11)进行整理积分，可得

$\left\{ \begin{gathered} {A_{0n}}{J_n}( {{\beta _1}b})+{B_n}H_n^{(1)}( {{\beta _1}b}) - {C_n}H_n^{(1)}( {{\beta _2}b}) - {D_n}H_n^{(2)}( {{\beta _2}b} ){\text{ = }}0 \\ {A_{0n}}{\varepsilon _{11}}( {n,b})+{B_n}{\varepsilon _{12}}( {n,b} ) - \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}\left[ {{C_n}{\varepsilon _{31}}({n,b} )+{D_n}{\varepsilon _{32}}({n,b})} \right]{\text{ = 0}} \\ {C_n}{\varepsilon _{31}}({n,a})+{D_n}{\varepsilon _{32}}({n,a} ){\text{ = }}0 \\ \end{gathered} \right.$

(12)

B_n、C_n、D_n确定如下

${B_n} = - {A_{0n}}\dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_n}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(1)}( {{\beta _2}b} )}&{ - H_n^{(2)}( {{\beta _2}b} )} \\ {{\varepsilon _{11}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{31}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{32}}( {n,b} )} \\ 0&{{\varepsilon _{31}}( {n,a} )}&{{\varepsilon _{32}}( {n,a} )} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(1)}( {{\beta _2}b} )}&{ - H_n^{(2)}( {{\beta _2}b})} \\ {{\varepsilon _{12}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{31}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{32}}( {n,b} )} \\ 0&{{\varepsilon _{31}}( {n,a} )}&{{\varepsilon _{32}}( {n,a} )} \end{array}} \right|}}$

(13)

${C_n} = - {A_{0n}}\dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} )}&{{J_n}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(2)}( {{\beta _2}b} )} \\ {{\varepsilon _{12}}( {n,b} )}&{{\varepsilon _{11}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{32}}( {n,b} )} \\ 0&0&{{\varepsilon _{32}}( {n,a} )} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(1)}( {{\beta _2}b} )}&{ - H_n^{(2)}( {{\beta _2}b} )} \\ {{\varepsilon _{12}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{31}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{32}}( {n,b} )} \\ 0&{{\varepsilon _{31}}( {n,a} )}&{{\varepsilon _{32}}( {n,a} )} \end{array}} \right|}}$

(14)

${D_n} = - {A_{0n}}\dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(1)}( {{\beta _2}b} )}&{{J_n}( {{\beta _1}b} )} \\ {{\varepsilon _{12}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{31}}( {n,b})}&{{\varepsilon _{11}}( {n,b} )} \\ 0&{{\varepsilon _{31}}( {n,a} )}&0 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {H_n^{(1)}( {{\beta _1}b} )}&{ - H_n^{(1)}( {{\beta _2}b} )}&{ - H_n^{(2)}( {{\beta _2}b} )} \\ {{\varepsilon _{12}}( {n,b})}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{31}}( {n,b} )}&{ - \dfrac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\varepsilon _{32}}( {n,b} )} \\ 0&{{\varepsilon _{31}}( {n,a} )}&{{\varepsilon _{32}}( {n,a} )} \end{array}} \right|}}$

(15)

2. 数值计算结果及讨论

2.1 动应力集中系数的定义

解决柱面时间简谐SH波对管道边缘DSCF分布的影响是非常重要的。根据余弦定理，r₁可以表示为

${r_1} = \sqrt {r_0^2+r_2^2 - 2{r_0}{r_2}\cos \left( {\text{π} - {\theta _2}} \right)}$

(16)

剪应力表示为

$\tau _{r{\textit{z}}}^{( \rm{i} )} = - {\mu _1}{\beta _1}H_1^{(1)}( {{\beta _1}{r_1}}){{{\rm{e}}} ^{ - {\rm{i}}\omega t}}$

(17)

动应力集中系数定义为

$\delta = \frac{{\tau _{\theta {\textit{z}}2}^{}}}{{\tau _{r{\textit{z}}}^{\left( {\rm{i}} \right)}}}$

(18)

2.2 工况分析

相对于埋地管道外侧受到土层的约束，管道内侧在爆破地震波作用下更加危险，因此选择混凝土管道与PVC管道内侧边界作为研究对象，研究入射波频率为10、50、100和200 Hz作用下管道的动力响应，相关参数如表1所示。其中ρ、μ分别为密度和剪切模量，下标s、p、pvc分别代表土壤、混凝土管和PVC管。

表 1 计算工况

Table 1. Calculation condition

f/Hz	r₀/m	Parameters of soil		Parameters of concrete pipe				Parameters of PVC pipe
f/Hz	r₀/m	ρ_s/(kg·m⁻³)	μ_s/MPa	ρ_p/(kg·m⁻³)	μ_p/GPa	a_p/mm	b_p/mm	ρ_pvc/(kg·m⁻³)	μ_pvc/GPa	a_pvc/mm	b_pvc/mm
10, 50, 100, 200	2, 5, 10	1 200	17	2 300	12.5	500	585	1 500	0.96	15.5	16.0

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入射波频率为10、50、100、200 Hz作用下，PVC管道内壁与混凝土管道内壁的DSCF环向分布曲线分别如图2和图3所示。

图 2 入射频率不同时PVC管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 2. DSCF circumferential distribution curves in the inner wall of the PVC pipe at different incident frequencies

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图 3 入射频率不同时混凝土管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 3. DSCF circumferential distribution curves in the inner wall of the concrete pipe at different incident frequencies

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由图2可知，当入射波频率一定时，不同r₀下，PVC管道内边界的DSCF分布曲线基本重合，并且随着管道边界呈上下对称分布；DSCF峰值主要集中在π/2～2π/3与4π/3～3π/2之间。随着入射柱面SH波频率的增大，PVC管道内边界的DSCF分布及峰值大小基本未发生变化，即波源到管道轴线的距离r₀对其分布曲线的影响不大。而由图3可知，混凝土管道与PVC管道内边界DSCF分布明显不同。当入射波频率为10 Hz时，随着r₀增大，混凝土管道边界DSCF分布在临近波源侧有减小趋势，而在背波源侧有增大趋势，DSCF峰值与PVC管一样主要集中在π/2～2π/3与4π/3～3π/2之间。当入射波频率较低（10 Hz）时，临近波源侧的DSCF随r₀的增大而减小；随着入射波频率的增大，临近波源侧的DSCF随r₀的增大而增大，但相应频率下DSCF峰值逐渐减小；此外，随着入射波频率的增大，DSCF分布由10 Hz时的上下对称双椭圆形逐渐转变为向波源侧靠近的蝶形。

对比PVC管道与混凝土管道在不同入射波频率、不同波源距离下的内边界DSCF分布可知，随着入射波频率变化，混凝土管道的DSCF曲线形状发生变化，而PVC管道的DSCF曲线未发生相应的变化，只是PVC管的DSCF最大值约为混凝土管道的4倍。因此，可得混凝土管道内壁DSCF分布形状对入射SH波频率（即波长与管径比）较敏感。考虑到混凝土的剪切模量与土层剪切模量相差较大，因此为了研究更具一般性的埋地管道动力响应规律，定义管道与土层剪切模量之比为η=μ_p/μ_s进行分析，其中μ_p、μ_s分别为管道和土层的剪切模量。

为研究柱面SH波频率和η对DSCF分布情况的影响，图4、图5、图6展示了η分别为0.8、2.0、5.0和20.0时不同入射波频率的管道内壁DSCF环向分布曲线。

图 4 f =10 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 4. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =10 Hz)

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图 5 f =100 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 5. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =100 Hz)

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图 6 f =200 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 6. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =200 Hz)

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通过图4、图5和图6可知，当η=0.8时，随着入射波频率增加，管道内壁DSCF峰值位置的数量逐渐增多，并由集中在π/2及2π/3处向背源面转移，但峰值总体都小于2，说明当管道的剪切模量小于土层剪切模量时，随着入射波频率的增加，管道反应更加复杂；当η为2.0、5.0、20.0时，随着入射波频率增加，管道内壁DSCF分布向靠近波源侧转移，并且DSCF峰值逐渐减小，说明当管道剪切模量大于土层剪切模量时，入射柱面SH波在近源侧的反射程度较大。

由图4、图5和图6可知，当f =10 Hz时，随着η增大，对应不同r₀分散分布的DSCF曲线逐渐向r₀=10 m集中；当f 为100和200 Hz时，随着η增大，对应不同r₀分散分布的DSCF曲线由η<1的背源侧向近源侧转变，并且r₀=5 m时与r₀=10 m时非常靠近，可以认为DSCF最大值趋于稳定。这表明，随着r₀逐渐增大，波阵面曲率影响逐渐减小，并且r₀对DSCF分布的影响较大，但r₀对DSCF峰值大小几乎无影响。

3. 结　论

利用波函数展开法研究了柱面SH波爆破作用下管道的动应力集中问题，得到以下主要结论。

(1) 混凝土管道内壁DSCF分布形状对柱面SH波频率（即波长与管径之比）比较敏感。

(2) 管道与土层剪切模量之比η是影响管道动应力集中的重要指标，当入射波频率一定时，随着η的增大，管道的最大DSCF也逐渐增大；当η一定时，随着入射波频率增大，管道最大DSCF逐渐减小。

(3) 当考虑管道破坏位置时，需要考虑不同r₀作用下波阵面曲率的影响，而当研究管道最大DSCF值时可忽略。

图 1 简化模型

Figure 1. Simplified model

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图 2 入射频率不同时PVC管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 2. DSCF circumferential distribution curves in the inner wall of the PVC pipe at different incident frequencies

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图 3 入射频率不同时混凝土管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 3. DSCF circumferential distribution curves in the inner wall of the concrete pipe at different incident frequencies

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图 4 f =10 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 4. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =10 Hz)

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图 5 f =100 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 5. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =100 Hz)

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图 6 f =200 Hz时不同η对应的管道内壁DSCF环向分布曲线

Figure 6. Circular distribution curves of DSCF in the inner wall for different η pipes (f =200 Hz)

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表 1 计算工况

Table 1. Calculation condition

f/Hz	r₀/m	Parameters of soil		Parameters of concrete pipe				Parameters of PVC pipe
f/Hz	r₀/m	ρ_s/(kg·m⁻³)	μ_s/MPa	ρ_p/(kg·m⁻³)	μ_p/GPa	a_p/mm	b_p/mm	ρ_pvc/(kg·m⁻³)	μ_pvc/GPa	a_pvc/mm	b_pvc/mm
10, 50, 100, 200	2, 5, 10	1 200	17	2 300	12.5	500	585	1 500	0.96	15.5	16.0

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参考文献(19)

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