机器学习作为人工智能的核心分支，是收集整理已有的数据并通过编程算法模拟或实现人类学习活动的科学。本质上，学习行为包括使用已有数据（输入和输出）来训练模型，并让训练好的模型能够提供有效的推理预测。机器学习模型也可以用来识别和提取输入与输出之间的重要关系，并且还可以在没有明确编程的情况下得出推论。机器学习已经在许多学科中得到广泛的关注和应用，Lei等^[1]的调查表明，目前关于机器学习的研究已经是多个领域的优先发展方向，并且该方面的研究工作一直呈快速增长态势。

机器学习方法作为一种有效的数据驱动策略，在土木工程领域也受到了广泛的关注和应用^[2]。Ren等^[3]提出了一种基于决策树集成回归方法预测人造砂混凝土的抗压强度，提高了模型的预测精度，并对模型的输入特征进行重要性分析，得出龄期是影响抗压强度最显著的因素。Li等^[4]运用支持向量机模型建立了一种新型路面性能预测模型，并采用粒子群优化算法对支持向量机模型的超参数进行自动寻优，优化算法后的模型具有更好的预测精度和泛化能力。Yetilmezsoy等^[5]建立了不同类型核函数的高斯过程回归和支持向量机模型以及剪枝/未剪枝M5P树模型，预测碳纤维复合材料（carbon fibre reinforced plastics，CFRP）包裹的矩形和方形截面钢筋混凝土柱的侧边约束系数，并对预测效果进行统计评价，通过灵敏度分析发现CFRP总厚度是贡献最有效的参数。上述研究表明，机器学习在土木工程领域具有重要的应用价值。

钢筋混凝土（reinforced concrete，RC）板作为工程结构中的主要受力构件，经常受到工业气体爆炸、恐怖袭击及其他破坏，因此，RC板在爆炸作用下的动力响应是影响工程结构抗爆防护的重要指标^[6]。近年来，国内外学者对传统RC板的抗爆性能进行了大量研究。Zhao等^[7]对普通RC板进行爆炸试验，分析了RC板的破坏模式，建立并验证了数值模型的准确性，同时利用数值模型对RC板的爆炸性能进行参数化分析，通过非线性拟合回归法得到了基于比例距离、几何尺寸和边界条件的钢RC板爆炸挠度的拟合公式。Wang等^[8]通过试验和数值模拟研究了方形RC板在近场爆炸荷载作用下的性能，观察不同的损伤水平和损伤模式，并且将数值计算结果与实验结果进行对比，建立了不同损伤程度下的判别依据。Thiagarajan等^[9]研究了高强混凝土（107 MPa）和普通混凝土（27.6 MPa）配高强度低合金钒钢筋（HSLA-V）和普通钢筋（NR）在爆炸荷载下的响应和性能，然后对4种类型的RC板进行了试验和数值模拟对比，分析高强度材料的优缺点。Maazoun等^[10]研究了爆炸荷载下CFRP的RC板外部连接钢筋的效率，试验结果表明，使用CFRP显著提高了RC板的抗弯能力和刚度，并且采用简化的单自由度（single degree-of-freedom，SDOF）方法预测板的最大位移，试验结果和解析结果仅相差2%～14%。

目前，针对RC板的抗爆性能研究主要采用试验或数值模拟方法。爆炸试验由于其危险性、高成本和瞬时性在爆炸分析中的应用受到了极大的限制。数值模拟是一种可以模拟结构或构件在爆炸作用下动力性能的有效方法，但是精细的数值模拟仍然需要大量时间建模和计算，计算时间长，计算成本高，且需要工程人员熟悉掌握有限元软件和建模方法，而机器学习可以直接利用已有数据进行学习，并且经过学习的模型具有很强的泛化性能，能快速且准确地对未来需求数据进行预测。因此，机器学习方法特别适用于危险性和计算成本极高的抗爆分析。另外，目前国内外已经积累了大量RC构件的爆炸试验数据和基于试验的数值分析数据，这些数据为采用机器学习方法分析爆炸作用下RC板的抗爆性能提供了数据学习基础，利用这些数据搭建模型并加以训练学习后，能准确且快速预测RC板在任意条件下的动力响应。

基于此，本研究将利用机器学习方法预测RC板在爆炸荷载作用下的最大位移。首先，收集和整理了国内外RC板在爆炸作用下的相关试验数据和基于试验结果的参数化分析模拟数据，建立数据库；再利用改进的偏差-方差分解方法对高斯过程回归和支持向量机两种算法的泛化性能进行分析，对比分析两种方法的预测结果，并将机器学习方法与现有方法进行对比分析，进一步验证机器学习方法的可行性；最后，利用置换特征重要性和Sobol方法从局部和全局思路对机器学习方法的“黑箱”性进行解释，从多方面验证采用机器学习方法的位移预测模型的可靠性。

1.   RC板在爆炸作用下位移预测流程

采用机器学习方法预测近场爆炸作用下RC板的跨中最大位移，能够实现快速且准确预测爆炸作用下RC板的动力响应，具体流程如图1所示。首先，收集近场爆炸作用下RC板的相关试验数据，并对数据进行处理，整合成数据库，将数据集划分成训练集、验证集和测试集3个部分。训练集用来训练机器学习模型，验证集用来评估预测模型的泛化性能，测试集用来验证不同模型的预测能力和模型的适用性。然后，利用训练数据对机器学习算法模型进行训练，并通过验证集评估模型的泛化性能和调整合适的超参数。最后，从性能度量、现有的预测方法对比和机器学习模型可解释性3个方面对位移预测模型进行验证分析。

图  1  RC板在爆炸作用下位移预测流程

Figure  1.  Displacement prediction process of reinforced concrete slab under explosion

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2.   数据收集与描述

2.1   特征描述

传统近场爆炸荷载作用下RC板的试验装置如图2(a)所示，炸药置于板的上方，并在板底和周边布置仪器测量引爆炸药后结构的响应数据。板中最大位移作为最易获取的指标，常被认定为最主要的响应参数进行分析研究。采用机器学习方法时，数据表征的范围往往对结果有很大的影响，为了全面量化爆炸试验的过程，选取10个特征变量参数作为输入，对应的输出标签是爆炸后板中最大位移，具体的特征参数选取如图2(b)所示。

图  2  爆炸作用下RC板的布置示意图和变量选取示意图

Figure  2.  Layout diagram and variable selection diagram of reinforced concrete slab under blast load

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将输入的特征变量分为3组：第1组变量为试件的尺寸和材料参数，包括长度X₁（m）、宽度X₂（m）、厚度X₃（m）、混凝土抗压强度X₄（MPa）、钢筋屈服强度X₅（MPa）和配筋率X₆（%）；第2组特征变量为试件的边界条件与单双向板分类，包括边界条件X₉、区分单向板和双向板的分类特征X₁₀；第3组特征为爆炸荷载相关参数，包括炸药到混凝土板的中心距离X₇（m）、炸药重量X₈（kg）。输出标签则为RC板在爆炸荷载作用下的最大位移Y（m）。

2.2   建立数据库

爆炸试验研究成本高、危险性大，试验场地和试验条件往往受到限制，在研究范围和试验重复上受到很大的阻碍。国内外学者对于RC板的抗爆性已展开了一系列的试验研究，但受条件限制，抗爆试验样本相对偏少，往往是基于试验结果采用数值建模方法进行更多的分析，从而大幅降低试验成本和危险性。本研究收集了国内外关于RC板在近场爆炸荷载作用下的相关数据。考虑到样本的一致性，剔除参数信息缺失、数据不完整以及在爆炸作用下RC板被直接破坏的数据样本，最后将所有数据样本进行统一整理形成数据库。数据库包含56个试验数据样本^[11-20]和204个数值模拟数据样本^{[13, 17, 19-29]}。试验样本均为普通RC板样本，数值模拟样本均是基于试验结果参数化得到的数据，数据的可行性具有一定的保障。

试验数据库还考虑了两项分类特征，即单双向板和边界条件。数据库有98块单向板和162块双向板。数据库选取9种类型RC板的边界条件，矩形板和方形板四边的边界条件由固定边界、简支边界和自由边界组合而成，分别为：四边简支（B₁）58个数据点、四边固定（B₂）79个数据点；方形板的对边简支与对边自由（B₃）5个数据点、对边固定与对边自由（B₄）45个数据点、对边固定与对边简支（B₅）29个数据点；矩形板的长边简支与短边自由（B₆）14个数据点、长边固定与短边自由（B₇）13个数据点、短边简支与长边自由（B₈）2个数据点、短边固定与长边自由（B₉）20个数据点。表1列出了输入特征和输出标签的平均值、标准差（SD）、最大/最小值以及分位数（1/4 Q、1/2 Q和3/4 Q）和2个分类变量的计数。图3给出了输出与数值型输入变量的统计分布，横坐标为所选变量取值的区间范围，左侧纵坐标为相应区间内的数据点个数，右侧纵坐标为相应的累积概率。

表  1  数据集数值型特征的统计描述

Table  1.  Statistical description of numerical feature of data sets

Variance	Feature/Output	Mean/Count	SD	Max	Min	1/4 Q	1/2 Q	3/4 Q
X1	Length/m	1.66	0.84	6.00	0.75	1.00	1.38	2.00
X2	Width/m	1.56	0.78	3.00	0.75	1.00	1.20	2.00
X3	Thickness/m	0.09	0.04	0.20	0.03	0.05	0.10	0.10
X4	Compressive strength/MPa	37.50	8.39	63.00	20.00	30.00	39.50	40.45
X5	Steel yield strength/MPa	385.13	95.66	600.00	235.00	335.00	400.00	425.00
X6	Reinforcement ratio/%	1.14	0.93	6.12	0.20	0.49	0.84	1.34
X7	Explosion distance/m	0.80	0.84	5.00	0.10	0.40	0.60	0.89
X8	TNT charge mass/kg	3.27	4.38	20.00	0.01	0.36	1.58	3.42
X9	Boundary conditions	(B1)58,(B2)79,(B3)5,(B4)45,(B5)29,(B6)14,(B7)13,(B8)2,(B9)20
X10	One-way/Two-way	(One-way slab)98/(Two-way slab)162
Y	Displacement/mm	34.55	31.59	142.00	1.16	12.23	22.45	43.54

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图  3  定量特征和输出变量的统计分布

Figure  3.  Statistical distribution of quantitative characteristics and output variables

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3.   机器学习算法与性能度量

采用机器学习方法预测爆炸荷载作用下RC板跨中最大位移可以归纳为监督学习的回归预测问题，数据库中的位移值即为学习标签。常用的机器学习回归预测算法有很多种，选择合适的算法是解决问题的关键，结合本研究的应用场景，需要选择适合解决小样本、非线性和高维模式的算法。支持向量机和高斯过程回归算法具有严密的数学理论基础，在小样本和非线性问题上有着较好的鲁棒性和泛化性能，因此，在充分考虑RC板在爆炸作用下的影响因素后，采用支持向量机和高斯过程回归算法作为位移预测模型。

3.1   支持向量机算法

支持向量机（support vector machine, SVM）由苏联数学家Vapnik^[30]在1995年提出，最初较多应用于分类问题的探索，经过不断的研究和改进，目前也被应用于回归预测，称为支持向量回归机（support vector regression, SVR）。设给定训练样本$D = \{ ({x_i},{y_i}),i = 1,2, \ldots,n\}$，其中：x_i为第i个训练样本的输入值，$ \left\{ {{y_i} \in {R_n}} \right\} $为对应的输出值，则回归模型

式中：${\boldsymbol{\omega }}$为超平面的法向量，b为位移项。

对于一般的回归问题，只有当$ f(x) $与y完全相等时，模型的损失才为零。在SVR模型中，给出了一定程度的容忍度偏差$ \varepsilon $，仅当$ f(x) $与y差值的绝对值大于容忍度偏差$ \varepsilon $时，才被认为有损失。此时，相当于以$ f(x) $为中心，构建一条宽为$ 2\varepsilon $的隔离带，如图4所示，其中落在阴影部分的间隔带中的样本不计算损失值，将其认定为正确。因此，$\varepsilon$-SVR模型可以表达为式(2)的约束问题

图  4  线性支持向量回归机示意图

Figure  4.  Diagram of linear support vector regression

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式中：C为惩罚因子，用于平衡算法复杂度和样本误差之间的权重；$ {\xi _i} $和$ {\hat \xi _i} $为松弛因子。由于SVR对于异常数据较为敏感，容易产生“过学习”现象，通过引入松弛因子$ {\xi _i} $和$ {\hat \xi _i} $表示样本的离散程度。松弛因子越大说明样本离群越远，通过松弛因子可以让模型放弃离群点，记为损失，这样能更好地提高模型的泛化性能。通过引入拉格朗日函数，将式(2)优化问题变换成对偶形式，通过变换求解得到目标方程

式中：$ {\hat \alpha _i} $、$ {\alpha _i} $为对偶变量，$ K({x_i},x) $为核函数。

SVR算法预测性能的好坏很大程度上受到其核函数类型及核函数参数选择的影响^[31]。能够实现SVR算法的工具箱很多，本研究选取的是台湾大学Chang等^[32]开发设计的LIBSVM工具箱。该工具箱易于使用，且能够快速有效地实现SVM回归，涉及的调节参数也相对较少。由于径向基（radial basis function，RBF）核函数^[33]能够有效地处理非线性、低维、高维、小样本等问题，因此选取RBF核函数作为SVR算法的核函数

式中：$ \gamma $为RBF核函数参数，代表RBF核函数的宽度。

选定模型类型和核函数后，需要确定惩罚参数C和核函数参数$ \gamma $的取值。由于参数的设置对结果的影响非常大，故选取五折交叉验证和网格寻优法在一定范围内自动搜索最优的惩罚参数C和核函数参数$ \gamma $，参数的搜索范围为[−10, 10]，搜索步长为0.01。

3.2   高斯过程回归算法

高斯过程回归算法（Gaussian process regression，GPR）通常用于处理低维度和小样本的回归问题，也适用于大样本和高维情形的扩展算法。可以将GPR理解为一个概率预测，在给出预测准确点的同时还可以预测上下限值，从而为预测提供更多的参考价值^[5]。GPR的模型假设是由回归残差和高斯先验两个部分组成，其求解按照贝叶斯推断（bayesian inference）进行。GPR模型是一个具有泛用性和可解性的概率模型，其高斯过程以及核函数性质使得GPR模型在很多领域都有应用。GPR模型可以表示为

式中：$ \mu (x) $为均值函数，$ k\left( {x,x'} \right) $为协方差函数。确定了均值函数和协方差函数就可以确定一个高斯过程回归。协方差函数也被称为核函数，是GPR模型的核心

式中：${\delta _{ij}}$为狄拉克函数，当$ i = j $时，${\delta _{ij}} = 1$，否则为零；$ {\theta _0} $和$ {\theta _1} $为超参数，一般可以设定为0.3。

高斯回归的先验过程为$ f(x) \sim N(\mu (x),k(x,x')) $，设此过程为$f(x) \sim N({\mu _f},{K_{ff}})$。假设给定数据$ \left( {x',y'} \right) $，且$ y' $与$ f\left( x \right) $符合联合高斯分布，则联合概率密度为

式中：$ {K_{ff}} = k(x,x) $，$ {K_{fy}} = k(x,x') $，$ {K_{yy}} = k(x',x') $。这里可以理解为$ x $是需要预测的自变量，$ x' $是已知的自变量，则通过贝叶斯概率表达式可以推导出

可以预测，均值为${y_{\mathrm{mean}}} = K_{fy}^{\mathrm{T}}K_{ff}^{ - 1}y'$，误差矩阵为${y_\sigma } = {K_{yy}} - K_{fy}^{\mathrm{T}}K_{ff}^{ - 1}{K_{fy}}$，因此只要求得$ {\theta _0} $和$ {\theta _1} $就可以求得预测值。

通过GPR进行预测的基本思想：当两个输入点“距离”很近时，那么其输出量也应该是相似的，而协方差函数（核函数）就是一种“距离”度量方法，通常使用平方指数核函数作为协方差函数。MATLAB软件中自带GPR模型，只需调用相关函数就能实现，其中模型的参数估计方法和模型的预测方法均为精确高斯过程回归方法，协方差函数的形式为平方指数核，其余参数均为默认参数。

3.3   偏差-方差分解与性能度量指标

机器学习中，当利用历史样本和算法学习一个预测模型，该模型在样本外的预测效果就是泛化误差，即模型在验证集样本的预测误差。机器学习模型的泛化误差又可以分解成3个部分：偏差（bias）、方差（variance）和噪声（noise）。噪声是样本的真实噪音，是学习算法中无法解决的问题，而偏差和方差则是可控的^[34]。偏差与方差是衡量算法预测准确性的重要准则，方差表示模型预测值的离散程度，偏差是指模型预测值偏离真实值的程度，采用如图5所示的靶图能够直观地说明偏差和方差的含义。红色靶心代表模型需要预测的真实值，每个蓝色散点为模型每次预测值，当散点越接近靶心时，模型预测结果越准确。理想模型即散点集中且靠近靶心，方差较小、偏差较大即为欠拟合，此时模型训练不足；而方差较大、偏差较小即为过拟合，此时模型发生过拟合。

图  5  偏差与方差的图形解释

Figure  5.  Graphical illustration of bias and variance

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在以往的研究中，偏差-方差分解理论停留在数学研究层面，为了更好地将其运用于机器学习方法的效果评估中，本研究将对偏差-方差分解理论进行改进。由于方差是数据的平方，一般与模型每次预测误差本身相差太大，难以直观衡量，所以采用方差开根号，通过取算数平方根的标准差换算，这样能更加直观地表达误差的离散度。通过改进的偏差-方差分解方法可以衡量机器学习模型的泛化能力，改进的偏差-方差分解伪代码如下：

Begin

　　Input 真实值true, 预测值predict，观察值observe

　　Loss=mean((true-predict) ^2) 　　　　　　　%损失函数为真实值与预测值的平方期望

　　Noise=mean((true-observe) ^2) 　　　　　　 %噪声为真实值与观测值的平方期望

　　Bias=(mean(predict)-mean(observe)) ^2 　　　%偏差为平均预测值与平均观测值差的平方

　　Std= stdeva(abs(observe-predict)) 　　　　　 %取预测值与观测值的绝对差值的标准差

　　Print Loss, Noise，Bias，Std 　　　　　　　 %输出结果

End

预测模型在度量了泛化误差后，还需要对比不同算法下的预测性能，而计算模型的预测性能标准能够有效地评价和比较模型，预测模型的预测性能是基于实际值与预测之间的差异。本研究选取相关系数（R²）、均方根误差（E_RMS）和平均绝对误差（E_MA）3种指标评价不同机器学习方法的回归精度

式中：$ {y_i} $和$ {p_i} $分别为实际值和预测值，n为样本总数，$ \bar y $为样本实际值的平均数。根据式(9)、式(10)和式(11)可知，E_RMS和E_MA为误差度量指标，值越小表示预测精度越高；R²表示模型的拟合优度，其值越接近1表示预测精度越高。

4.   位移预测模型的性能验证

应用3.3节概述的方法，以下将分析机器学习方法在爆炸作用下RC板的位移预测应用：首先运用改进的偏差-方差分解方法衡量选用的机器学习模型的泛化性能；然后比较两种机器学习方法的性能度量指标；最后将机器学习方法的预测结果与文献中的试验结果及相应的数值模拟方法或理论解析方法进行比较分析。

4.1   模型的泛化性能

在机器学习中，应用不同的训练数据集可以训练出不同的预测模型，如果仅仅是将训练集的损失最小化，并不能保证模型在预测一般性问题时仍为最优，甚至不能保证这种算法模型是否可用。因此，为了验证所选的机器学习算法是否可行，本研究利用改进的偏差-方差分解方法验证所选模型的泛化性能。

从样本数据库中随机选择不同比例大小的训练数据集和验证数据集样本。例如：“9-1”代表将数据库数据随机平分10份，其中9份作为训练集，1份作为验证集，并且对每种比例大小的样本重复10次实验。将每次验证集中的预测结果按照3.3节中给出的方法进行分解，取10次结果的平均值作为指标。图6给出了两种算法的偏差-标准差堆叠图。对比两种算法可以看出：GPR算法在“8-2”的比例条件下，其整体的泛化误差最小；随着训练集占比减少，SVR模型的标准差逐步增大，偏差相对减小，整体的泛化误差增大。从图6中可以看出，当训练样本的比例不同时，随着训练样本的减少，验证样本的增加，两种算法模型的泛化误差均出现增大的现象，但是总体的增长幅度并不大，说明两种算法对爆炸数据集的泛化性能较好。

图  6  不同比例样本训练集的偏差-标准差堆叠图

Figure  6.  Bias-standard deviation stack graph of samples with different training set proportions

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4.2   不同机器学习方法预测性能对比

基于对两种模型泛化性能的研究结果可知，按照“8-2”比例划分模型的误差最低，即将数据集划分为训练集80%，测试集20%。为了对比SVR和GPR两种机器学习方法的预测性能，按照“8-2”划分方式使用相同的数据集对两种机器学习方法进行训练和测试。GPR算法在测试集的性能度量结果为E_MA=3.29 mm，E_RMS=3.93 mm，R²=0.986；SVR算法在测试集的性能度量结果为E_MA=3.56 mm， E_RMS=4.21mm， R²=0.984。两种机器学习方法在测试集的预测结果如图7所示，数据点越靠近黑色直线表明模型的预测性能越好。图7给出了两种方法在±20%和±40%的误差界限，基于52个测试数据点，GPR算法在±20%和±40%的界限中分别有37和47个点，SVR算法在±20%和±40%的界限中分别有35和45个点，从数据点的整体分布可以看出，两种方法的预测结果都很相似，且预测精度较高。

图  7  不同算法的预测值与试验值对比：(a) GPR，(b) SVR

Figure  7.  Comparison of predicted values and experimental values of different algorithms: (a) GPR, (b) SVR

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此外，图8给出了实际位移与预测位移的比较。从图8中上方的线图可以看出，预测响应与实际响应总体上保持一致，但两种方法都会出现倾向于预测结果低于实际结果的异常值。图8中下方的柱状图表示每个数据点的预测值与实际值之间的残差值，可以看出，两种算法的多个预测结果低于实际值，两种方法的最大残差值分别为−8.4和−8.3 mm。基于3个性能度量指标值，基于图7和图8的预测输出可以发现，GPR算法略优于SVR算法，但两种机器学习方法的预测结果均在可接受的范围内。

图  8  两种算法的预测响应与残差：(a) GPR，(b) SVR

Figure  8.  Prediction response and residual of two algorithms: (a) GPR, (b) SVR

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4.3   机器学习方法与现有方法的比较

为了进一步阐述机器学习方法的性能，将最佳预测模型GPR的预测结果与现有的理论解析和数值方法预测结果进行对比。从收集的爆炸试验数据中选取12个试验样本作为基准，所选试验样本均在各自的文献中进行了替代的预测方法研究，具体比较结果见表2。表2给出了其他替代方法的预测结果和当前机器学习（machine learning，ML）方法的预测结果。

表  2  ML方法与现有方法对比

Table  2.  Comparison of ML model with existing methods

Case	Existing method detail	Maximum displecement/mm			Error of existing method/%	Error of ML/%
		Exp.	Existing method	ML
1	LS-DYNA-mesh, 5 mm[20]	25.7	25.10	25.27	2.33	1.67
2	LS-DYNA- mesh, 10 mm[20]	25.7	35.20	25.27	36.96	1.67
3	LS-DYNA- mesh, 20 mm[20]	25.7	35.60	25.27	38.52	1.67
4	SDOF[12]	1.8	2.02	2.66	12.22	47.74
5	SDOF[12]	10.5	10.51	10.59	0.10	0.90
6	SDOF[12]	13.9	15.09	12.99	8.56	6.57
7	SDOF[12]	38.9	37.69	37.80	3.11	2.83
8	Medium-structure interaction theory[15]	4.8	4.19	5.51	12.71	14.69
9	Medium-structure interaction theory[15]	8.4	7.37	7.09	12.26	15.60
10	Medium-structure interaction theory[15]	10.2	11.80	8.67	15.69	14.98
11	LS-DYNA-mesh, 5 mm[13]	9.0	8.40	8.15	6.67	9.49
12	LS-DYNA-mesh, 5 mm[13]	23.1	21.30	18.76	7.79	18.79
13	LS-DYNA-mesh, 5 mm[13]	5.1	5.70	9.78	11.76	91.72
14	LS-DYNA-mesh, 5 mm[13]	9.9	10.50	10.34	6.06	4.43

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结合图7和表2可以看出，在实际值较低的情况下机器学习方法会出现少数异常值，对应表2中的算例4和算例13。算例4的试验结果为1.8 mm，SDOF预测结果为2.02 mm，机器学习方法预测结果为2.66 mm，两种方法的预测误差分别为12.22%和47.74%；算例13的试验结果为5.1 mm，数值模拟预测结果为5.7 mm，机器学习预测结果为9.78 mm，两种方法的预测误差分别为11.76%和91.72%。多数情况下机器学习方法的预测效果优于现有方法，而在其余情况下（算例8、9、11和12）机器学习方法的预测效果低于现有预测方法，但仍然在可接受范围内。

从表2中的数据可以看出，在试验值较低时，机器学习方法的预测结果出现了较大误差。4.2节中GPR方法预测的E_MA=3.29 mm可以说明，模型整体误差大约为±3.29 mm，即会出现预测值与实际值相差3 mm左右的误差。而在实际值较低的情况下，预测结果相对于实际值有较大误差，但误差均在可控范围内。总体而言，与现有的解析和数值方法对比，机器学习模型表现出良好的预测效果，说明使用机器学习方法预测爆炸荷载作用下的最大位移是一种有效的方法。

5.   位移预测模型的可靠性分析

机器学习方法在位移预测的性能方面具备特有的优势，但是所用算法构造的模型都是“黑箱”模型，即通过已有数据对模型进行训练后给出预测，仅对比了模型的预测性能，却无法给出预测的解释，往往会降低机器学习方法的可靠性^[35]。为增强所用机器学习方法的可解释性，按照从局部到整体的思路，研究所选算法的解释性。利用排列特征重要性的方法从局部研究单个输入特征的变化对模型的影响程度，利用基于方差的全局敏感性分析方法（Sobol）不仅能分析输入特征对模型的影响程度，还可以度量非线性系统中相互作用的影响。

5.1   排列特征重要性

排列特征重要性（permutation feature importance，PFI）的基本思路：首先建立一个模型，随机打乱某一列X_i ，其余各列保持不变，然后使用打乱的数据来预测，最后计算模型的E_RMS。如果某项特征对预测结果很重要，那么打乱顺序后，模型就会出现较大误差；如果某项特征对预测结果不重要，就会产生较小误差。为了削减随机对结果的影响，对每列数据打乱10次，再求每次的E_RMS的平均值作为该特征的PFI值。图9(a)给出了GPR算法的特征重要性排序，可以看出，特征重要性的排列顺序从高到低依次为炸药质量、爆炸距离、板厚度、配筋率、长度、宽度、边界条件、抗压强度、屈服强度和板类型。图9(b)给出了每项特征的影响程度，其中炸药质量和爆炸距离对模型的影响程度最大，其次是板厚度和配筋率，而其余变量对模型的影响程度并不高，从文献[36]中的参数化分析也可以得出，药量、距离、板厚和配筋率的变动对最大位移的影响程度较大，进一步说明了机器学习方法的可行性。

图  9  GPR算法排列特征重要性：(a) 特征重要性排序，(b)特征重要性占比

Figure  9.  Permutation feature importance of GPR algorithm: (a) feature importance, (b) proportion of feature importance

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5.2   Sobol 敏感性分析法

敏感性分析能够定量描述模型的输入变量对输出变量的影响程度，一般可以分为局部敏感性分析和全局敏感性分析两类。局部敏感性分析只检验单因素变化对结果的影响程度，且需要一定的假设限制，不能全面反映实际情况。爆炸载荷下RC板的动力响应过程是多因素相互作用的综合结果，采用全局敏感性分析考虑了变量相互作用对结果的影响，更加符合实际情况。本研究基于GPR位移预测模型，采用Sobol方法对GPR位移预测模型进行全局敏感性分析。

Sobol方法是一种基于方差分解的全局敏感性分析方法，其核心思想是将模型输入的总方差分解为每个参数变量的方差和参数相互作用的方差之和，通过计算各参数对输出方差的贡献比来识别输入变量的敏感性。基于方差的敏感度指数易于解释，因为它是用输入变量发生变化时引起的输出方差的分数来表示^[37]。如图10所示，采用Sobol方法对GPR位移预测模型进行全局敏感性分析的具体流程：

图  10  敏感性分析流程

Figure  10.  Sensitivity analysis process

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(1) 定义爆炸作用下位移预测模型各输入变量的取值范围及分布形式（表1），基于蒙特卡罗采样的变种，Sobol 序列对多维空间内进行1000次随机采样，生成参数样本集；

(2) 通过编写MATLAB程序，将生成的参数样本集写入对应GPR位移预测模型，并运行模型；

(3) 使用MATLAB读取GPR位移预测模型结果，将模型结果进行敏感性分析，并得出最终结果。

基于建立的GPR位移预测模型，进行一阶和全局敏感度分析，图11给出了爆炸作用下RC板的最大位移敏感性分析结果，从一阶敏感度可以看出，药量、爆距、厚度和钢筋屈服强度的敏感度较高，其他变量的敏感度较低；全局敏感度与一阶敏感度的差值即为交互敏感度，从图11中可以看出，药量、爆距和厚度3种参数的交互敏感度最高，说明这3项参数相互耦合对模型的结果影响最大，相对于解析方法建立的数学物理模型，采用机器学习方法建立的智能预测模型能更好地获得模型的相互关系，有利于更准确建立爆炸作用下的位移预测模型。

图  11  爆炸作用下RC板的最大位移敏感性分析结果

Figure  11.  Maximum displacement sensitivity analysis results of reinforced concrete slab under blast load

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两种方法分别从局部和整体角度分析了GPR位移预测模型特征变量的影响程度，结合两种方法能够看出，药量、爆距和板厚度是对模型影响最大的3个特征。从图11中可以看出，药量、爆距、板厚度和钢筋屈服强度是模型最主要的影响因素；而从图9中可以看出，药量、爆距、板厚度和配筋率是最主要的影响因素。对比两种方法可以得出，钢筋屈服强度和配筋率对两种方法的影响程度有较大差别。置换特征重要性主要是从扰动单一特征来测量模型的预测误差，通过误差的大小判别重要程度，这样就不能考虑多个因素之间的相关性，而配筋率和钢筋屈服强度之间存在着很大的相关性，数据库中的屈服强度相对固定，因此扰动该特征情况下，模型误差程度相较于配筋率会降低很多。Sobol方法可以从全局角度给出各模型参数的相互作用对模型的影响程度，采用这种方法得出了钢筋屈服强度的影响程度要高于配筋率，而钢筋又起到在爆炸荷载作用下承受拉应力和改善板延性的作用，因此，钢筋屈服强度的影响程度要高于配筋率。以上结果表明，本研究采用的机器学习方法预测爆炸作用下RC板的最大位移是可靠的。

6.   结论与展望

利用机器学习方法预测爆炸作用下RC板的最大位移，从不同方面对机器学习方法进行验证，分析了不同机器学习方法的泛化性能与预测精度，将机器学习方法与现有预测方法进行对比分析，最后对机器学习方法的“黑箱”性进行解释研究。

(1) 利于机器学习方法预测爆炸作用下RC板的最大位移具有较高预测精度与泛化性能，能够应用于不同条件下RC板在爆炸作用下的动力响应，且GPR算法的预测精度略优于SVR算法；

(2) 机器学习方法优于现有的数值分析和解析方法，且机器学习方法预测结果更加简单、精准；

(3) 基于编译完成的GPR模型，采用排列特征重要性和Sobol全局敏感性分析，给出了不同输入参数对爆炸作用下RC板最大位移的影响程度，从全局与局部分析了每个特征的贡献程度，对机器学习模型进行了合理解释，增加了模型的可靠度；

(4) 机器学习模型在预测爆炸荷载作用下RC板的最大位移方面取得了良好的效果，在识别每个输入特征的影响方面表现出色，同时节省了计算时间和成本。