应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法

陶沛东; 张红平; 张志友; 李牧

doi:10.11858/gywlxb.20220640

应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法

doi: 10.11858/gywlxb.20220640

陶沛东^{1, 2,},
张红平^3,*, ,,
张志友¹,
李牧²

1.
四川大学物理学院, 四川成都　610064
2.
深圳技术大学工程物理学院, 先进材料测试技术研究中心, 深圳市高功率激光与先进材料重点实验室, 广东深圳　518118
3.
深圳技术大学大数据与互联网学院, 广东深圳　518118

基金项目: 国家自然科学基金（11972330，11974321）；国防基础科研科学挑战专题（TZ2016001）

详细信息

作者简介:
陶沛东（1997-），男，硕士研究生，主要从事动高压物理研究. E-mail：3121153292@qq.com

通讯作者:
张红平（1981-），女，博士，副教授，主要从事计算力学和数值方法研究.E-mail：zhanghongping@sztu.edu.cn

中图分类号: O521; O347.1
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出版历程
- 收稿日期: 2022-08-15
- 修回日期: 2022-08-28
- 网络出版日期: 2023-02-21
- 刊出日期: 2023-02-05

Backward Integration Method for Multilayer Target Quasi-Isentropic Compression Experiments

TAO Peidong^{1, 2
,},
ZHANG Hongping^{3,*
, ,},
ZHANG Zhiyou¹,
LI Mu²

1.
College of Physical Science and Technology, Sichuan University, Chengdu 610064, Sichuan, China
2.
College of Engineering Physics, Shenzhen Technology University, Center for Advanced Material Diagnostic Technology, Shenzhen Key Laboratory of Ultra-Intense Laser and Advanced Material Technology, Shenzhen 518118, Guangdong, China
3.
Big Data and Internet College, Shenzhen Technology University, Shenzhen 518118, Guangdong, China

摘要

摘要: 针对磁驱动和激光驱动准等熵压缩实验物理中多层结构靶设计和实验数据处理的需求，在反积分处理方法的基础上，提出了多层靶的层间传递方法，实现了多层靶内加载历史的反演计算。通过正、反积分数值实验以及激光驱动实验的正、反计算，验证了多层靶中反积分数据处理方法的有效性，在绝大部分计算范围内，多层靶的反积分处理精度可以达到1%以内。利用反积分方法开展了多层靶物理实验的波形设计，并分析了不同厚度胶层的多层靶对斜波加载实验的影响。
- 准等熵压缩 /
- 多层靶 /
- 反积分 /
- 激光驱动 /
- 胶层
Abstract: According to the requirements of target structure design and experimental data processing in multilayer target quasi-isentropic compression experiments, an interlayer transfer method for multilayer targets was proposed based on the backward integration method, the backward calculation of multilayer targets from the measuring surface to the loading surface or laser ablation surface was realized. Through the forward and backward integration numerical experiments and the application in laser driven experiment, the effectiveness of the backward integration method in multilayer targets was verified, and the backward integration processing accuracy of multilayer targets can reach within 1% in most of the calculation area. The waveform design of quasi-isentropic compression multilayer target experiments was carried out by backward integration method, and the influence of multilayer targets with different thicknesses of glue on quasi-isentropic compression experiments was analyzed.
- quasi-isentropic compression /
- multilayer target /
- backward integration /
- laser driven /
- glue layer

HTML全文

准等熵压缩实验具有压缩历程可连续测量、加载过程温升较小等特点，在行星物理和材料动态响应特性研究中应用广泛^[1-2]。为了实现理想的加载路径或特殊的实验目标，靶常被设计为多层结构，例如：在激光加载实验中，在目标材料与烧蚀层之间添加高Z材料以阻隔加载过程中焦耳加热、辐射输运等效应对加载结果的影响。在可提供准等熵加载条件的激光与磁驱实验中，靶样品的尺寸在加载方向一般为数微米至百微米量级，难以在不产生信号干扰的情况下通过内嵌传感器测量样品内部及加载面的加载信息，限制了传统的流体力学积分计算方法对数据处理的应用。

反积分计算方法是Hayes^[3]在处理Z加速器的实验数据时提出的，使用样品靶自由面或窗口界面的无接触光测数据作为积分计算的输入条件，在样品靶加载信息未知的情况下，利用双曲型控制方程的特点，在空间上向样品靶内部进行反向积分计算，从而实现样品内部物理信息的计算。目前，基于计算得到的高精度声速曲线和原位粒子速度，反积分方法已在准等熵压缩实验中得到广泛应用^[4-6]。在准等熵加载实验中，反积分方法主要有两种应用方式：(1) 当样品的物性参数未知时，依据多台阶靶在不同台阶处测量得到的速度历史积分到加载位置处应基本相同这一原理，修正未知的物态方程参数；(2)当样品的物态方程参数已知时，由单个台阶测量得到的速度历史，可积分推导整个样品内部直至加载面所有位置的加载信息。我国对于反积分方法的研究从流体力学近似^[7-8]开始，将材料的弹塑性和力学响应等因素进行综合考虑^[9]，在准等熵压缩实验和复杂路径加载实验中逐步得到完善^[10]，利用准等熵加载实验数据对反积分方法和特征线反演方法计算得到的拉格朗日声速及原位粒子速度进行对比^[11]，发现反积分方法与特征线方法的精度基本一致。

目前，应力波的反演都是针对单层材料，然而实际实验中几乎没有单层样品，在实验数据处理和加载波形设计中必须考虑多层材料结构的影响。考虑多层材料间阻抗失配造成的应力波反射问题时，寻找相同加载历史的拉格朗日位置变得比较困难。在解决这类问题时，实现多层靶内加载历史反演是成功的关键。对于界面经历多次反射/透射后的复杂波系区域，采用特征线方法处理相对复杂，而反积分方法是全域计算方法，可以通过初边值条件处理界面问题，更容易实现多层计算。为此，本研究基于反积分方法，结合多层材料分界面两侧各参数的传递方法，实现多层靶的反向积分计算，并进行验证。

1. 多层靶的反积分方法

多层靶的反积分计算可沿材料层数依次反向积分实现，对每层材料而言，需重点考虑其积分初始条件的获取。在准等熵压缩过程中，以加载方向（第一道压缩波传播的方向）定义样品的前后顺序，该扰动出发的位置为上游，传播的方向为下游方向。设右行方向为加载方向，对于每一层材料，左边界为前界面，右边界为后界面。

1.1 单一材料的正反积分计算方法

考虑应力波在流体近似下的一维传播情况，控制方程可以选择质量方程、动量方程和一个描述应力与应变之间关系的力学响应方程作为流场积分计算的基础。在已知拉格朗日坐标系下样品某空间位置的应力历史或粒子速度历史的情况下，可以计算获得样品内部所有空间位置的应力-应变曲线以及粒子速度随时间变化的情况。

以下为微分形式的控制方程。

质量方程

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial \varepsilon }{\partial t}$

(1)

动量方程

$\frac{\partial \sigma }{\partial x}=-{\rho }_{0}\frac{\partial u}{\partial t}$

(2)

力学响应方程

$\varepsilon =F\left(\sigma \right)$

(3)

式中： $u$ 为粒子速度； $\varepsilon =1-\dfrac{v}{{v}_{0}}$ 为体应变，其中 $v$ 为比容，v₀为初始比容； $\sigma$ 为应力； ${\rho }_{0}=\dfrac{1}{{v}_{0}}$ 为初始密度；t为时间。

在数值计算中，需要根据不同的边界条件和已知信息对控制方程进行离散。当计算的边界条件在加载面时，即已知靶材料的加载信息，数值计算沿时间方向推进，常称为正向积分计算，控制方程的差分离散形式为

$u\left(x,t\right)=u\left(x,t-\mathrm{d}t\right)-\frac{1}{{\rho }_{0}}\left[\sigma \left(x+\mathrm{d}x,t-\mathrm{d}t\right)-\sigma \left(x-\mathrm{d}x,t-\mathrm{d}t\right)\right]\frac{\mathrm{d}t}{2\mathrm{d}x}$

(4)

$\varepsilon \left(x,t\right)=\varepsilon \left(x,t-\mathrm{d}t\right)+\left[u\left(x-\mathrm{d}x,t\right)-u\left(x+\mathrm{d}x,t\right)\right]\frac{\mathrm{d}t}{2\mathrm{d}x}$

(5)

$\sigma \left(x,t\right)=\overline{F}\left(\varepsilon \left(x,t\right)\right)$

(6)

当计算的边界条件在自由面或样品-窗口界面时，即已知实验测得的样品靶自由面或样品-窗口界面上的材料信息，数值计算沿空间反向向样品加载面推进，自由面或样品-窗口界面信息亦可看作数值计算过程中的“初始条件”，因此常称为反向积分计算，控制方程的离散形式为

$\sigma \left(x-\mathrm{d}x,t\right)=\sigma \left(x,t\right)+\frac{{\rho }_{0}\left[u\left(x,t+\mathrm{d}t\right)-u\left(x,t-\mathrm{d}t\right)\right]\mathrm{d}x}{2\mathrm{d}t}$

(7)

$\varepsilon \left(x-\mathrm{d}x,t\right)=F\left(\sigma \left(x-\mathrm{d}x,t\right)\right)$

(8)

$u\left(x-\mathrm{d}x,t\right)=u\left(x,t\right)+\frac{\left[\varepsilon \left(x-\mathrm{d}x,t+\mathrm{d}t\right)-\varepsilon \left(x-\mathrm{d}x,t-\mathrm{d}t\right)\right]\mathrm{d}x}{2\mathrm{d}t}$

(9)

正向积分法（式(4)～式(6)）与反向积分法（式(7)～式(9)）在数值计算中的主要区别在于力学响应方程（式(6)和式(8)）的形式和离散。

在斜波加载实验中，其应力-应变关系与根据主Hugoniot线推导的等熵压缩线上的应力-应变关系非常接近。沿Hugoniot线的应力-应变关系可简单表示为

${p}_{\mathrm{H}}\left(v\right)={p}_{0}+\frac{{\rho }_{0}{C}_{0}^{2}\varepsilon }{{\left(1-\lambda \varepsilon \right)}^{2}}$

(10)

式中： ${p}_{\mathrm{H}}$ 为Hugoniot线上的压力；C₀和 $\lambda$ 为Hugoniot系数，由冲击波速度 ${u}_{\mathrm{s}}$ 和粒子速度 ${u}_{\mathrm{p}}$ 的关系 ${u}_{\mathrm{s}}={C}_{0}+\lambda {u}_{\mathrm{p}}$ 决定。结合Grüneisen物态方程，可得到过同一起始点的等熵线应力-应变关系

$p\left(v\right)={p}_{0}+{\rho }_{0}{C}_{0}^{2}{\mathrm{e}}^{{\varGamma }_{0}\mathrm{\varepsilon }}{\int }_{0}^{\varepsilon }\frac{1-\left({\varGamma }_{0}-\lambda \right)\textit{z}}{{\left(1-\lambda \textit{z}\right)}^{3}}{\mathrm{e}}^{-{\varGamma }_{0}\textit{z}}\mathrm{d}\textit{z}$

(11)

式中：p为等熵线上的压力， ${\varGamma }_{0}$ 为Grüneisen参数。

为了方便数值计算，将该积分形式的应力-应变关系转换成微分形式

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\varepsilon }={\varGamma }_{0}\left(p-{p}_{0}\right)-{{\rho }_{0}C}_{0}^{2}\frac{\left({\varGamma }_{0}-\lambda \right)\varepsilon -1}{{\left(1-\lambda \varepsilon \right)}^{3}}$

(12)

在不考虑材料弹塑性等其他偏应力和黏性应力的情况下， $\sigma =p$ ，式(12)离散后可直接替换式(6)用于正向积分计算。而在反积分计算过程中，应变随时间的变化关系应当由应力随时间变化关系推导而来，需要将式(12)转化为

$\dfrac{\mathrm{d}\varepsilon }{\mathrm{d}p}=\dfrac{1}{{\varGamma }_{0}p-{\rho }_{0}{C}_{0}^{2}\dfrac{\left({\varGamma }_{0}-\lambda \right)\varepsilon -1}{{\left(1-\lambda \varepsilon \right)}^{3}}-{\varGamma }_{0}{p}_{0}}$

(13)

同样，式(13)离散后可直接替换式(8)用于反向积分计算。需要说明的是，由于式(13)属于超越方程，一般采用二阶龙格-库塔法等算法以保证其精度。

由反积分差分形式的离散公式（式(7)～式(9)）可知，进行反积分计算需要样品边界的应力、应变、速度三者随时间的变化关系。对于自由面，该边界的压力为零，应变为零，根据实验测量的速度历史可直接开始计算。对于窗口界面，要求窗口内的应力波为简单波，结合窗口材料参数，由式(14)可给出界面处窗口材料的压力历史

${\rm d}p=\rho c{\rm d}u$

(14)

1.2 不同材料层参数的传递方法

目前广泛应用的反积分方法主要以样品窗口界面或自由面速度历史为初始条件，其中带窗口实验要求应力波在窗口内维持简单波，即应力随时间单调增加。在多层靶的计算中，计算域的后边界仍然需要维持上述条件，但是计算域内不需要简单波条件。根据下游材料层反积分计算结果，可以得到该层材料的加载面状态。由于相邻层的材料属性不同，对应的状态方程和强度存在差异，但在压缩过程中始终保持界面连续，因此可以保证运动的连续性。相邻边界处的应力和速度相等是处理多层靶的基本原则，即

${u}_-\left(t\right)={u}_+\left(t\right)$

(15)

${\sigma }_-\left(t\right)={\sigma }_+\left(t\right)$

(16)

式中：下标“−”表示边界左侧待算区域的边界，下标“+”表示已计算完成的材料层的加载面。根据界面左侧区域材料的准等熵压缩力学响应关系，可根据应力大小给出应变 ${\varepsilon }_{-}\left(t\right)$ ，即可得到新的材料层反积分计算初始条件，再按照单层反积分方法进行计算。

1.3 多层靶的反积分计算过程

对于如图1(a)所示的多层靶结构，反积分计算流程如图1(b)所示。首先，通过实验可在探测面，即图1(a)中最后一层材料后界面，测量得到粒子速度历史；然后，将其作为反积分的初始条件，利用材料的物性参数计算，得到此界面的应力和应变；接着，以此3个变量为输入信息，采用1.1节中的方法进行单层材料的反积分运算，得到该层材料前界面的应力、应变和粒子速度历史；最后，采用1.2节中的界面参数传递方法，获得上游材料的后界面信息，作为上游材料反积分计算的初始条件，再进行该层材料的反积分运算。依此循环，直至计算到多层靶的加载面。

图 1 多层结构靶示意图(a)与多层结构靶中反积分的计算流程(b)

Figure 1. Structure of multilayer target (a) and flow chart of backward integration method in multilayer target (b)

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2. 多层靶的反积分方法的数值验证

为验证该方法的可行性，进行了数值实验，采用经典的数值计算方法进行正向计算，计算过程采用的参数与反积分方法保持一致。根据准等熵压缩过程中常见的靶结构和边界条件，分别采用两种类型的夹层靶进行计算，靶的两侧为同一种材料，中间分别夹高阻抗和低阻抗材料。具体材料和尺寸分别为：(1) 铝（5 μm）/铜（5 μm）/铝（20 μm）；(2) 铝（5 μm）/CH（5 μm）/铝（20 μm）。计算时间长度取100 ns，是应力波渡越时间的10倍以上，足以反映不同阻抗界面的多次反射过程。考虑到内部界面中已经选择产生较强的阻抗差异，计算域的后边界取为无反射的原位条件。

给定一个近指数加载历史，图2(a)和图2(b)给出了增加高/低阻抗夹层材料计算的各界面的压力历史。其中后界面的压力为正积分法计算结果，以此为初始条件进行反积分计算，最后得到内部各截面和加载面的压力历史。从图2可以看出，经过3层反积分处理后，加载面的压力历史与正积分法输入的压力历史吻合。正、反积分法在加载面上的差异如图2(c)所示：在压缩初始阶段（压力不足1 GPa时），两种方法所得计算结果的相对误差较大，达到5%以上；在后续过程中，压力波形的相对误差均远小于1%，处于0.1%～0.4%之间。计算发现，增加阻抗差异后，反积分法给出的加载压力误差略有增加，但在低压段的相对误差仍然较大。低压段相对误差较高的原因部分来源于数值弥散。实验研究中，低于1 GPa的数据本身的测量误差就非常大，因此可以认为在阻抗差异不大的情况下，多层靶的数据处理可以采用反积分方法。

图 2 以两侧为铝的夹层样品为例的正、反积分法计算得到的各界面的压力历史（从上到下分别为加载面（红色）、夹层前后界面和后测量面（蓝色））：(a) Al-Cu-Al靶材料，Cu材料的阻抗约为两侧Al材料阻抗的3倍；(b) Al-CH-Al靶材料，CH材料的阻抗约为两侧Al材料阻抗的1/3；(c) 反积分法计算的加载面压力与初始加载压力的相对差异

Figure 2. Pressure histories on loading surface from forward integration (FI) and backward integration (BI), the top curves (red) are correlated to loading surface and the bottom curve (blue) is the rear measured surface: (a) Al-Cu-Al target, the impedance of Cu material is about 3 times that of Al material; (b) Al-CH-Al target, the impedance of CH material is about 1/3 times that of Al material; (c) relative discrepancy between the loading surface pressure from backward integration and initial loading pressure

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3. 多层靶的反积分方法的实验验证

以激光加载实验中常用的夹层靶作为多层靶反积分计算的实验样本。采用电子束蒸发镀膜法，依次将铝、金、铝镀在透明的LiF窗口上，夹层靶结构见图3，根据反积分的计算方向，将材料界面进行编号。实验在“神光Ⅱ”装置上进行，使用第9路激光进行斜波加载，样品-窗口界面处的粒子速度（图3中界面1）由VISAR（velocity interferometer system for any reflector）装置测量得到，基于LiF窗口的表观速度与实际粒子速度的关系进行速度修正^[12]。

图 3 激光驱动多层靶结构

Figure 3. Structure of laser driven multilayer target

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图4(a)显示了界面1与界面2之间Al材料的反积分计算结果，其中界面1和界面2处的应力历史如图4(b)所示。可以看到，两界面处的压力波形基本完全相同，符合简单波在单一介质中传播的原理。当需要计算界面2与界面3之间金的加载历史时，反积分算法依然需要界面2处金一侧的应力和粒子速度历史。其中，应力和粒子速度历史在界面两侧相等，然而由于不同材料的密度、状态方程参数都不相同，应变历史基本都不同，因此当反积分跨越界面时需要对新一层材料界面处的应变进行重新计算，同样可以使用式(13)作为计算依据。类似地，当反积分迭代经过界面3时，需要重新计算界面3铝一侧的应变，再按照单层靶反积分程序进行计算。

图 4 激光驱动多层靶中界面1与界面2之间Al层的反积分计算结果

Figure 4. Backward integration calculated results of Al layer on laser driven multilayer targets between the interface 1 and interface 2

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对实验进行反积分计算，结果如图5(a)所示。可以看到，当应力波从铝进入金时，会向铝中反射压缩波，而从金进入铝时，会向金中反射稀疏波，这也符合小扰动波在不同阻抗介质界面处传播的规律。图5(b)中的蓝线为反积分计算后界面处的应力随时间变化曲线，3条应力曲线的各个台阶清晰地反映了各层靶之间应力波的反射规律，如应力波从金向铝传播时在界面2处出现由于低阻抗的铝产生卸载波导致的压力峰值下降等。

图 5 激光驱动多层靶反积分计算结果：(a) 压力等高云图，(b)多层靶各界面处压力历史的正、反积分计算结果

Figure 5. Backward integration calculated result of laser driven multilayer target: (a) pressure contour, (b) pressure histories of interfaces calculated by forward/backward integration method

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在研究单层靶的反积分计算程序时，常常先正向积分再反向积分，通过比较正反积分结果求证反积分算法的精确度^[3]，在多层靶的反积分运算中，依然可以使用类似方法进行验证。考虑到实验测量得到的样品-窗口界面粒子速度历史比较准确，因此先采用反积分法计算多层靶的加载面，再以计算得到的加载面应力历史作为实验加载信息，通过已验证精确度的正积分程序正向计算样品-窗口界面1，将两者进行对比，通过分析误差，验证多层靶中反积分计算的可靠性。

反积分运算时，计算区域网格划分与计算面的选择对计算结果有一定影响。为此，首先考虑计算网格的划分。通常情况下，反积分程序输入的初始条件有界面处随时间变化的物理量，如粒子速度、应力、应变等，而输入数据将按时间均匀地划分到 ${N}_{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}$ 个时间网格中，网格大小影响空间网格数 ${N}_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}$ 的选取。为确保计算的稳定性和收敛性，需要保证选取的网格特征长度 ${L}_{\mathrm{d}}$ 小于选取的单位时间网格内应力波传播的距离 ${L}_{\mathrm{s}}$ ，这一条件即为CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件，这里用CFL数（ ${N}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}}$ ）表示 ${L}_{\mathrm{d}}$ 与 ${L}_{\mathrm{s}}$ 之间的关系，通常取0～1之间的值

$\frac{{L}_{\mathrm{d}}}{{L}_{\mathrm{s}}}=\frac{\dfrac{L}{{N}_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}-1}}{\dfrac{T}{{N}_{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}-1}{C}_{\mathrm{L}}} < {N}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}}$

(17)

式中：T为总计算时间。为使空间采样数 ${N}_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}$ 满足 ${L}_{\mathrm{d}}/{L}_{\mathrm{s}}$ ≤ ${N}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}}$ 条件下最小的正整数，通常在程序中人为设定一个CFL数，以控制空间采样率的大小。同时，为了探究CFL数的选取对计算结果的影响，用实验记录的原始数据探查选取不同CFL数情况下的反积分计算结果，如图6所示。可以看到，CFL数越小，即选取的空间网格点越多，每个空间网格的长度越小，需要计算的次数就越多，反积分结果也就越平滑。这是因为在计算过程中在时间上使用了式(7)～式(9)中的二阶差分格式，下一位置处 $t$ 时刻的参数是通过上一位置处 $t+\mathrm{\Delta }t$ 和 $t-\mathrm{\Delta }t$ 两个时刻的参数计算得到，因此在时间上有匀滑效应，而且随着空间迭代次数的增多，这种匀滑效应也更明显。虽然这对于反积分计算结果的波形轮廓没有影响，但是太强的匀滑效应会导致一些细节丢失。

图 6 选择不同积分面与CFL数时的反积分计算结果：(a) 应力曲线和偏差值，(b)偏差较大时的低压段计算结果

Figure 6. Multilayer backward integration with different numerical method and CFL number: (a) pressure curve and derivation value, (b) the low-pressure section data with larger deviation

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另一个影响计算结果的是式(9)中应力面的选择。如图6所示，根据网格划分，在 $x$ 位置处每一时间点的粒子速度应当由 $x$ 处的应变历史计算得到，由于 $x$ 处的应变历史是时间差分匀滑后的计算结果，因此若用来计算粒子速度，则会天然地多加一层时间匀滑，其计算结果如图6中标记B的虚线所示，而使用未经匀滑的 $x+\mathrm{d}x$ 处的应变历史计算得到的粒子速度进行迭代的结果如图6中标记A的点线所示。可以看到，CFL数对B种计算方法的影响较小，但其匀滑程度均比A种大。将不同CFL数下A、B两种计算结果作平均，计算每种计算方法的计算结果与平均值 ${p}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}$ 之间的偏差（ $\left|p-{p}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}\right|/{p}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}$ ），其结果也记录在图6中。可以看到，在低压段，不同计算方法和CFL数对反积分运算结果的影响较大，不同方法之间的偏差甚至可以达到30%，但是当压力升高时，不同计算方法所得计算结果基本一致。

综上所述，为了保留尽可能多的波形信息，在反积分计算中应选择图6中与原始波形较为接近的CFL数（ ${N}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}}=$ 0.50），应变计算则采用经时间差分匀滑的计算方式。确定这两个关键的计算参数后，反积分再正积分计算后的多层靶反积分计算验证性结果见图5(b)。

图5(b)所示的多层靶不同界面处的计算结果中，红色曲线表示正向积分计算结果，蓝色曲线表示反向积分计算结果。对比界面1-界面2-界面3的正反积分结果，可以看出，红色和蓝色曲线的吻合度很高，均如实反映了不同靶层材料间应力波的反射情况，仅在第1个峰值后有些许差别。这是反积分计算和正积分计算的有效计算区域不同造成的，正积分的有效计算区域按加载时间段沿特征线推进，而反积分的有效计算区域则按测量时间段沿特征线反向回推^[9]，为保证计算区域有一定的数据量，两个计算区域并不能完全重叠。去除加载波形前后的无效区域后，计算的最大相对误差出现在低压段（0～1 GPa），这是目前模型没有考虑弹塑性引起的。其余区域的计算相对误差小于1%。当积分到界面1时，平均误差为0.16 GPa，首个峰值前的平均误差仅为0.06 GPa。因此，可以得出，反积分计算在多层靶的斜波加载实验中误差可控，结果有效。

4. 多层靶中胶层影响的初步分析

当给定需要的后界面波形时，可以通过反积分方法，结合不同多层靶结构，给出加载面需要的加载波形，为物理实验的波形调节提供参考。以下将考虑多层靶中引入胶层后对波形的影响。

在准等熵加载实验中，制作多层靶时常用胶水进行粘连，环氧胶、白乳胶等黏合剂固化后会在不同材料层之间增加一层胶层，对实际加载波形有重要影响。这里以Al-Cu-Al靶为例，假设每层材料的厚度为10.0 μm，两层材料之间使用成份为聚乙烯醇（polyvinyl alcohol，PVA）的白乳胶粘连^[13]，在考虑胶层厚度影响的情况下，若使最后一层Al面上为0～200 GPa线性上升的压力波形，则其内部的反积分结果与加载面需要的压力波形如图7和图8所示。

图 7 考虑不同胶层厚度的多层靶的反积分压力云图：(a) 0.1

$\text{μ}\mathrm{m}$ ，(b) 1.0

$\text{μ}\mathrm{m}$ ，(c) 5.0

$\text{μ}\mathrm{m}$ ，(d) 10.0

$\text{μ}\mathrm{m}$

Figure 7. Pressure contours of multilayer baseplate with different glue thicknesses: (a) 0.1

$\text{μ}\mathrm{m}$ , (b) 1.0

$\text{μ}\mathrm{m}$ , (c) 5.0

$\text{μ}\mathrm{m}$ , (d) 10.0

$\text{μ}\mathrm{m}$

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图 8 根据后界面斜波波形反向计算得到的多层靶加载面需要的压力波形

Figure 8. Calculated drive profile for a designed pressure output with different glue thicknesses

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在胶层厚度（d_PVA）为0.1和1.0 µm时，胶层的存在对应力波在两层材料之间的传播影响并不大，以图8中黑色实线所示的理想斜波波形为条件，不考虑胶层时反积分计算得到的加载波形与之相似。而当胶层厚度增加到5.0 µm时，为了实现相同探测面压力波形所需的加载面波形更匀滑，且相较于胶层厚度为0.1～1.0 µm的计算结果在0～150 GPa区间的波形更平缓；而当胶层厚度增加到10.0 µm时，所需加载波形的平缓度更明显。在常用的胶合靶中，胶层的厚度一般在2～5 µm，结合计算结果可知，在此厚度下，胶层作为数据处理中不可忽略的一部分，对波形计算的影响极大，亦可以利用胶层的这一特性设计制作斜波压缩所需的物理靶。

5. 结　论

在准等熵压缩实验中，不同的加载装置往往需要多层靶构型设计来实现不同的物理目标，如预热电子的屏蔽、波形重塑等。针对多层靶的斜波压缩实验，考虑各层靶材料界面处数据和参数的处理后，将反积分方法引入多层靶的物理计算和数据处理中，实现了对多层靶的反积分计算，通过实验数据以及正、反计算验证了多层靶中反积分方法的正确性。计算结果表明，多层样品的反积分处理中，阻抗差异对计算结果有影响，在斜波压缩起始阶段（0～1 GPa）相对误差较大，后续误差明显小于1%。利用反积分计算在波形设计方面的优势，探讨了胶层厚度对多层靶斜波加载实验中烧蚀面波形设计的影响。

图 1 多层结构靶示意图(a)与多层结构靶中反积分的计算流程(b)

Figure 1. Structure of multilayer target (a) and flow chart of backward integration method in multilayer target (b)

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图 2 以两侧为铝的夹层样品为例的正、反积分法计算得到的各界面的压力历史（从上到下分别为加载面（红色）、夹层前后界面和后测量面（蓝色））：(a) Al-Cu-Al靶材料，Cu材料的阻抗约为两侧Al材料阻抗的3倍；(b) Al-CH-Al靶材料，CH材料的阻抗约为两侧Al材料阻抗的1/3；(c) 反积分法计算的加载面压力与初始加载压力的相对差异

Figure 2. Pressure histories on loading surface from forward integration (FI) and backward integration (BI), the top curves (red) are correlated to loading surface and the bottom curve (blue) is the rear measured surface: (a) Al-Cu-Al target, the impedance of Cu material is about 3 times that of Al material; (b) Al-CH-Al target, the impedance of CH material is about 1/3 times that of Al material; (c) relative discrepancy between the loading surface pressure from backward integration and initial loading pressure

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图 3 激光驱动多层靶结构

Figure 3. Structure of laser driven multilayer target

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图 4 激光驱动多层靶中界面1与界面2之间Al层的反积分计算结果

Figure 4. Backward integration calculated results of Al layer on laser driven multilayer targets between the interface 1 and interface 2

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图 5 激光驱动多层靶反积分计算结果：(a) 压力等高云图，(b)多层靶各界面处压力历史的正、反积分计算结果

Figure 5. Backward integration calculated result of laser driven multilayer target: (a) pressure contour, (b) pressure histories of interfaces calculated by forward/backward integration method

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图 6 选择不同积分面与CFL数时的反积分计算结果：(a) 应力曲线和偏差值，(b)偏差较大时的低压段计算结果

Figure 6. Multilayer backward integration with different numerical method and CFL number: (a) pressure curve and derivation value, (b) the low-pressure section data with larger deviation

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图 7 考虑不同胶层厚度的多层靶的反积分压力云图：(a) 0.1 $\text{μ}\mathrm{m}$ ，(b) 1.0 $\text{μ}\mathrm{m}$ ，(c) 5.0 $\text{μ}\mathrm{m}$ ，(d) 10.0 $\text{μ}\mathrm{m}$

Figure 7. Pressure contours of multilayer baseplate with different glue thicknesses: (a) 0.1 $\text{μ}\mathrm{m}$ , (b) 1.0 $\text{μ}\mathrm{m}$ , (c) 5.0 $\text{μ}\mathrm{m}$ , (d) 10.0 $\text{μ}\mathrm{m}$

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图 8 根据后界面斜波波形反向计算得到的多层靶加载面需要的压力波形

Figure 8. Calculated drive profile for a designed pressure output with different glue thicknesses

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参考文献(13)

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1. 多层靶的反积分方法
1.1 单一材料的正反积分计算方法
1.2 不同材料层参数的传递方法
1.3 多层靶的反积分计算过程
2. 多层靶的反积分方法的数值验证
3. 多层靶的反积分方法的实验验证
4. 多层靶中胶层影响的初步分析
5. 结　论

应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法

doi: 10.11858/gywlxb.20220640

作者简介: 陶沛东（1997-），男，硕士研究生，主要从事动高压物理研究. E-mail：3121153292@qq.com

通讯作者: 张红平（1981-），女，博士，副教授，主要从事计算力学和数值方法研究.E-mail：zhanghongping@sztu.edu.cn

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