可变形定向破片战斗部在不同展开模式下的性能数值模拟

杜伊杨; 黄炫宁; 杨鸿铭; 周晴; 李伟兵

doi:10.11858/gywlxb.20210887

摘要: 为使战斗部具有多种定向毁伤模式并实现一定程度上的可控毁伤，提出了一种扇形装药的可变形定向破片战斗部，该战斗部可实现轴向展开和侧向展开2种模式。采用AUTODYN软件进行破片场的数值模拟。首先，基于战斗部单元体分析获得了距离轴心25 mm处的最佳起爆点位置；其次，对整个战斗部进行分析，在轴向展开模式下分析了轴向展开角度对破片飞散速度、破片数目和破片空间分布的影响，发现轴向展开角在60°～75°范围内毁伤效果较佳；最后，在侧向展开模式下分析了整个战斗部的破片速度和破片空间分布情况，结果表明破片具有明显的定向飞散特性。

关键词:

Abstract: In order to enable warhead to have multiple directional damage modes and to achieve a certain degree of controllable damage, a deformable directional fragment warhead with fan-shaped charge is proposed. It can realize an axial-expanding mode and an lateral-expanding mode. The AUTODYN software is used to carry out the numerical simulation of the fragment field. Firstly, the position of the initiation point at 25 mm away from the central axis is determined based on the analysis of the unit constituting the warhead. Secondly, for the axial-expanding mode, the influence of the axial-expansion angle on the fragment flying speed, the quantity and the spatial distribution of fragments are obtained. The results show that the damage effect of the warhead is better when the axial-expansion angle is in the range of 60°–75°. Thirdly, for the lateral-expansion mode, the velocity and the spatial distribution of fregments are analyzed. It showes that the fragments under the lateral-expansion mode have directional flying quality.

Key words:

复合材料板具有较高的强度质量比、良好的耐腐蚀性和优异的可设计性，被广泛应用于航空航天和工业制造等领域^[1]。在实际使用中复合材料板经常受到不同形式的冲击荷载，从而产生振动和屈曲问题，因此冲击载荷作用下复合材料板的动力稳定性问题备受关注。

近年来关于复合材料板的研究越来越多，尤其是冲击荷载作用下复合材料板的动力稳定性问题研究^[2]，对工程部件结构设计和使用具有重要的意义。Sun等^[3]研究了在加热环境中应力波对功能梯度圆柱壳轴向冲击屈曲的影响；毛柳伟等^[4]对弹性直杆在应力波作用下的动力分叉屈曲进行了分析与探讨，提出了求解应力波作用下直杆动力屈曲的数值方法；Lepik^[5]讨论了在应力波影响下轴向压缩的弹塑性梁的屈曲；Zhang等^[6]分析了不确定初始几何缺陷对薄板屈曲的影响；Abdelaziz等^[7]利用双曲线剪切变形理论，分析了在各种边界条件下复合材料板的弯曲变形和屈曲；Kouchakzadeh等^[8]采用线性和旋转弹簧的均匀分布来模拟边界条件，对矩形层压复合板的屈曲进行了分析；Czapski等^[9]通过数值和实验方法，研究了残余应力对压缩至破坏期间薄壁层压板屈曲性能的影响。

在实际工程中，复合材料板多应用于振动环境，其在动力响应下的动态特性和振动分析是必不可少的，因而对该类材料的振动屈曲研究至关重要。Kuo^[10]研究了两种非均匀分布纤维复合材料板的振动屈曲问题，Villarreal等^[11]对典型正交异性板的本征频率和振动屈曲进行了理论分析，Eftekhari等^[12]提出了通过组合应用有限元方法和微分正交方法求解矩形板的振动屈曲问题，Rehman等^[13]探讨了壳体结构的缺陷和损坏对结构振动屈曲的影响，Sayyad等^[14]将三角剪切变形理论应用于复合板的变形和振动屈曲研究。

关于复合材料板的振动屈曲问题已开展了较多的研究，但大多未考虑应力波效应对振动屈曲的影响，而动力屈曲一般与应力波相联系且具有局部发生的特点，研究含初始缺陷的复合材料板能更好地揭示实际工程中复合材料板在不同工况下发生动力屈曲的机理。基于此，本研究利用Kirchhoff薄板理论和Hamilton原理，考虑应力波效应，建立含初始几何缺陷的四边简支复合材料板的振动控制方程，得到板的屈曲临界荷载表达式，在此基础上通过数值计算讨论初始几何缺陷、振型函数初相位、铺层角度、屈曲模态阶数和铺层层数对复合材料板振动屈曲临界荷载的影响，为工程实际提供理论依据。

1. 复合材料板的控制方程

复合材料板在x = L_a处为固定边界条件，其余3边为简支边界条件，在 $z$ = 0的中性面上受x方向的面内阶跃荷载N作用，如图1所示。板在 $z$ 方向上含初始几何缺陷w₁，且x、y、 $z$ 方向的位移分别为u、v、w。复合材料板的长度、宽度和厚度分别为L_a、L_b、h，由n层单层板组成， $\theta$ 为单层板的铺层角度，即纤维材料铺设方向与x方向的夹角（见图1）。

图 1 复合材料板结构示意图

Figure 1. Schematic diagram of composite plate structure

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根据Kirchhoff薄板理论及经典弹性理论，复合材料板的位移与应变、弹性曲面的曲率和扭率的表达式为

${\begin{cases} {w = {w_1} + {w_0}} \\ {u = {u_0} - z\displaystyle\frac{{\partial \left( {w - {w_1}} \right)}}{{\partial x}}} \\ {v = {v_0} - z\displaystyle\frac{{\partial \left( {w - {w_1}} \right)}}{{\partial y}}} \end{cases}}$

(1)

${\begin{cases} {\varepsilon _x^0 = \displaystyle\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial x}}} \\ {\varepsilon _y^0 = \displaystyle\frac{{\partial {v_0}}}{{\partial y}}} \\ {\gamma _{xy}^0 = \displaystyle\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial y}} + \displaystyle\frac{{\partial {v_0}}}{{\partial x}}} \end{cases}}$

(2)

${\begin{cases} {{\kappa _x} = - \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\left( {w - {w_1}} \right)}}{{\partial {x^2}}}} \\ {{\kappa _y} = - \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\left( {w - {w_1}} \right)}}{{\partial {y^2}}}} \\ {{\kappa _{xy}} = - \displaystyle\frac{{2{\partial ^2}\left( {w - {w_1}} \right)}}{{\partial x\partial y}}} \end{cases}}$

(3)

${\begin{cases} {{\varepsilon _x} = \varepsilon _x^0 + z{\kappa _x}} \\ {{\varepsilon _y} = \varepsilon _y^0 + z{\kappa _y}} \\ {{\gamma _{xy}} = \gamma _{_{xy}}^0 + z{\kappa _{xy}}} \end{cases}}$

(4)

式中：u₀、v₀、w₀分别为复合材料板在x、y、 $z$ 方向上的中面位移， $\varepsilon _x^0$ 、 $\varepsilon _y^0$ 、 $\gamma _{xy}^0$ 分别为复合材料板中面应变分量， ${\kappa _x}$ 、 ${\kappa _y}$ 、 ${\kappa _{xy}}$ 为中面的曲率和扭率， ${\varepsilon _x}$ 、 ${\varepsilon _y}$ 、 ${\gamma _{xy}}$ 为复合材料板任意一点的应变。

板的内力（N_x、N_y、N_xy）与内力矩（M_x、M_y、M_xy）之间的关系为

$\left[ \begin{array}{l} {N_x} \\ {N_y} \\ {N_{xy}} \\ {M_x} \\ {M_y} \\ {M_{xy}} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{16}}}&{{B_{11}}}&{{B_{12}}}&{{B_{16}}} \\ {{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{{A_{26}}}&{{B_{12}}}&{{B_{22}}}&{{B_{26}}} \\ {{A_{16}}}&{{A_{26}}}&{{A_{66}}}&{{B_{16}}}&{{B_{26}}}&{{B_{66}}} \\ {{B_{11}}}&{{B_{12}}}&{{B_{16}}}&{{D_{11}}}&{{D_{12}}}&{{D_{16}}} \\ {{B_{12}}}&{{B_{22}}}&{{B_{26}}}&{{D_{12}}}&{{D_{22}}}&{{D_{26}}} \\ {{B_{16}}}&{{B_{26}}}&{{B_{66}}}&{{D_{16}}}&{{D_{26}}}&{{D_{66}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _x^0} \\ {\varepsilon _y^0} \\ {\gamma _{xy}^0} \\ {{\kappa _x}} \\ {{\kappa _y}} \\ {{\kappa _{xy}}} \end{array}} \right]$

(5)

式中： ${A}_{ij}$ 、 ${B}_{ij}$ 、 ${D}_{ij} \left(i,j=1,2,6\right)$ 分别表示板的拉伸刚度、耦合刚度和弯曲刚度系数^[15]，表达式如下

${\begin{cases} {{A_{ij}} = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{\overline Q_{ij}^k }}\left( {{h_k} - {h_{k - 1}}} \right)} } \\ {{B_{ij}} = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{\overline Q_{ij}^k }}( {{h^2_k} - h_{k - 1}^2} )} } \\ {{D_{ij}} = \displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{\overline Q_{ij}^k }}( {{h^3_k} - h_{k - 1}^3} )} } \end{cases}}$

(6)

式中： ${\overline Q_{ij}^k }$ 为复合材料板第 $k$ 层的偏轴刚度系数

$\overline {\boldsymbol{Q}} = {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Q}}{({{\boldsymbol{P}}^{ - 1}})^{\rm{T}}}$

(7)

式中：P为坐标转换矩阵，Q为刚度矩阵。

${\boldsymbol{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{2\sin \theta \cos \theta } \\ {{{\sin }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&{ - 2\sin \theta \cos \theta } \\ { - \sin \theta \cos \theta }&{\sin \theta \cos \theta }&{{{\cos }^2}\theta - {{\sin }^2}\theta } \end{array}} \right]$

(8)

${\boldsymbol{Q}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_{11}}}&{{Q_{12}}}&0 \\ {{Q_{12}}}&{{Q_{22}}}&0 \\ 0&0&{{Q_{66}}} \end{array}} \right]$

(9)

考虑材料为正交各向异性材料，设E₁、E₂、G₁₂、μ₁₂、μ₂₁分别为板材料x和y方向的拉压弹性模量、剪切弹性模量、主泊松比和副泊松比，则有

${Q_{11}}{\rm{ = }}\frac{{{E_1}}}{{1 - {\mu _{12}}{\mu _{21}}}},\;\;\;{Q_{22}}{\rm{ = }}\frac{{{E_2}}}{{1 - {\mu _{12}}{\mu _{21}}}},\;\;\;{Q_{12}}{\rm{ = }}\frac{{{\mu _{12}}{E_2}}}{{1 - {\mu _{12}}{\mu _{21}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\mu _{21}}{E_1}}}{{1 - {\mu _{12}}{\mu _{21}}}},\;\;\;{Q_{66}}{\rm{ = }}{G_{12}}$

(10)

复合材料板在左端受面内冲击荷载N作用（见图1）时，应力波沿x方向在板内传播，其应力变化如图2所示。

图 2 应力波传播示意图

Figure 2. Schematic diagram of stress wave propagation

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当应力波传播至波阵面位置L_cr（临界长度）时，板发生振动屈曲，板的内力N_t和应力波波速c分别表示为

${N_{\rm{t}}} = {\begin{cases} N&{0 \leqslant x \leqslant {L_{{\rm{cr}}}}} \\ 0&{x > {L_{{\rm{cr}}}}} \end{cases}} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} c{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{{A_{11}}}}{{\rho h}}}$

(11)

板发生振动屈曲时的变形能可以表示为

$\begin{split} U = &\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{{L_{\rm{cr}}}} {\displaystyle\int_0^{{L_{\rm{b}}}} {\left( {{N_x}\varepsilon _x^0 + {N_y}\varepsilon _y^0 + {N_{xy}}\gamma _{xy}^0 + {M_x}{\kappa _x} + {M_y}{\kappa _y} + {M_{xy}}{\kappa _{xy}}} \right)} } {\rm{d}}x{\rm{d}}y {\rm{ = }}\\ &\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{{L_{\rm{cr}}}} {\displaystyle\int_0^{{L_{\rm{b}}}} {\left[ {{N_x}\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial x}} + {N_y}\frac{{\partial {v_0}}}{{\partial y}} + {N_{xy}}\left( {\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v_0}}}{{\partial y}}} \right) + {M_x}\left( { - \frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {x^2}}}} \right) + {M_y}\left( { - \frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {y^2}}}} \right) + {M_{xy}}\left( { - \frac{{2{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial x\partial y}}} \right)} \right]} } {\rm{d}}x{\rm{d}}y \end{split}$

(12)

发生振动屈曲时的动能（考虑转动惯量）可以表示为

$\begin{split} T =& \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{ - {h}/{2}}^{{h}/{2}} {\int_0^{{L_{\rm{cr}}}} {\int_0^{{L_{\rm{b}}}} {{\rho _{\left( k \right)}}\left[ {{{\left( {\displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{{\partial {w_0}}}{{\partial t}}} \right)}^2}} \right]} } } {\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z {\rm{ = }}\\ &\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{{L_{\rm{cr}}}} {\int_0^{{L_{\rm{b}}}} {\left[ {{I_0}{{\left( {\displaystyle\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial t}}} \right)}^2} + {I_0}{{\left( {\displaystyle\frac{{\partial {v_0}}}{{\partial t}}} \right)}^2} + {I_0}{{\left( {\displaystyle\frac{{\partial {w_0}}}{{\partial t}}} \right)}^2} - 2{I_1}\displaystyle\frac{{\partial {u_0}}}{{\partial t}}\displaystyle\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial x\partial t}} - 2{I_1}\displaystyle\frac{{\partial {v_0}}}{{\partial t}}\displaystyle\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial y\partial t}} + {I_2}{{\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial x\partial t}}} \right)}^2} + {I_2}{{\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial y\partial t}}} \right)}^2}} \right]} } {\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{ }} \end{split}$

(13)

式中： $\left( {{I_0},\; {I_1},\; {I_2}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^{{N_k}} {\int_{{h_{k - 1}}}^{{h_k}} {{\rho _{\left( k \right)}}} } \left( {1, \;z, \;{z^2}} \right){\rm{d}}z$ ， ${{\rho _{\left( k \right)}}}$ 为第k层材料的密度。

板发生振动屈曲时的外力功可以表示为

$W = \frac{1}{2}\int_0^{{L_{\rm{cr}}}} {\int_0^{{L_{\rm{b}}}} {{N_{\rm{t}}}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}y$

(14)

考虑Hamilton变分原理，即

${\rm{\delta}} \int_{{{{t}}_1}}^{{{{t}}_2}} {\left( {T - U + W} \right)} {\rm{ d}}t = 0$

(15)

将式(12)～式(14)代入式(15)并进行变分计算，可得

$\frac{{\partial {N_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {N_{xy}}}}{{\partial x}} - {I_0}\frac{{{\partial ^2}{u_0}}}{{\partial {t^2}}} + {I_1}\frac{{{\partial ^3}{w_0}}}{{\partial x\partial {t^2}}}{\rm{ = }}0$

(16)

$\frac{{\partial {N_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {N_{xy}}}}{{\partial y}} - {I_0}\frac{{{\partial ^2}{v_0}}}{{\partial {t^2}}} + {I_1}\frac{{{\partial ^3}{w_0}}}{{\partial y\partial {t^2}}}{\rm{ = }}0$

(17)

$\frac{{{\partial ^2}{M_x}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{M_y}}}{{\partial {y^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}{M_{xy}}}}{{\partial x\partial y}} - {N_{\rm t}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{w_1}}}{{\partial {x^2}}}} \right) = {I_0}\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {t^2}}}{\kern 1pt} + {I_1}\left( {\frac{{{\partial ^3}{u_0}}}{{\partial x\partial {t^2}}} + \frac{{{\partial ^3}{v_0}}}{{\partial x\partial {t^2}}}} \right) - {I_2}\left( {\frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {x^2}\partial {t^2}}} + \frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {y^2}\partial {t^2}}}} \right)$

(18)

对于正交各向异性正规对称正交铺设的复合材料板，其刚度矩阵满足^[16]

${D}_{16}={D}_{26}=0,\;\;{A}_{16}={A}_{26}=0,\;\;{B}_{ij}=0$

(19)

根据 Kirchhoff 薄板理论及经典弹性理论，薄板中面在变形过程中没有伸长变形，将板的本构关系代入式(16)～式(18)中，略去含 ${u_0}$ 和 ${v_0}$ 的项，得到复合材料板在面向阶跃荷载激励下的控制方程

${D_{11}}\frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {x^4}}} + \left( {2{D_{12}} + 4{D_{66}}} \right)\frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + {D_{22}}\frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {y^4}}} + {N_{\rm t}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{w_1}}}{{\partial {x^2}}}} \right) - {I_0}\frac{{{\partial ^2}{w_0}}}{{\partial {t^2}}} + {I_2}\left( {\frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {x^2}\partial {t^2}}} + \frac{{{\partial ^4}{w_0}}}{{\partial {y^2}\partial {t^2}}}} \right) = 0$

(20)

设三边简支和应力波传播到L_cr（ ${w_0}\left( {{L_{{\rm{cr}}}},y,t} \right) = {w'_0}\left( {{L_{{\rm{cr}}}},y,t} \right) = 0$ ）时的振型函数^[17]为

${w_0}\left( {x,y,t} \right) = {R_{ij}}\left[ {\sin \frac{{i{\text{π}} x}}{{{L_{{\rm{cr}}}}}} + \frac{i}{{i + 1}}\sin \frac{{\left( {i + 1} \right){\text{π}}x }}{{{L_{{\rm{cr}}}}}}} \right]\sin \frac{{j{\text{π}} {{y}}}}{{{L_{\rm{b}}}}}\sin \left( {\omega {\kern 1pt} t + \varphi } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}$

(21)

由屈曲模态确定的缺陷分布形式是板结构最有可能发生的屈曲形式，能够很好地确定结构的缺陷敏感性^[18]。对于复合材料板在制造过程中出现的初始几何缺陷，引入屈曲模态的 $\varepsilon$ 倍变形作为初始几何缺陷^[19]，可以表示为

${w_1}\left( {x,y} \right) = \varepsilon {R_{ij}}\left[ {\sin \frac{{i{\text{π}}x }}{{{L_{{\rm{cr}}}}}} + \frac{i}{{i + 1}}\sin \frac{{\left( {i + 1} \right){\text{π}} x}}{{{L_{{\rm{cr}}}}}}} \right]\sin \frac{{j{\text{π}} {{y}}}}{{{L_{\rm{b}}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}$

(22)

式中：i、j为屈曲模态阶数， $i,j = 1,2,3, \cdots$ ；R_ij为板的第(i, j)阶模态幅值； $\varepsilon$ 表示初始几何缺陷系数。

根据式(21)和式(22)，利用棣莫弗公式对控制方程式(20)中的各项进行求导并化简，得到

$\begin{split} &{D_{11}}{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)^4}\left[ {{i^4} + {{\left( {i + 1} \right)}^4}} \right]\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + \left( {2{D_{12}} + 4{D_{66}}} \right){\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + \\ &2{D_{22}}{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)^4}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) - {N_{\rm{t}}}{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]\left[ {\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + \varepsilon } \right] + 2{I_0}{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + \\ &{I_2}{\omega ^2}\left\{ {{{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)}^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right] + 2{{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)}^2}} \right\}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) = 0 \end{split}$

(23)

根据式(23)可以得到N的表达式

$\begin{split} N{\rm{ = }}&\left\{ {{D_{11}}{{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)}^4}\left[ {{i^4} + {{\left( {i + 1} \right)}^4}} \right] + \left( {2{D_{12}} + 4{D_{66}}} \right){{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)}^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]{{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)}^2}} \right. + 2{D_{22}}{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)^4} + 2{I_0}{\omega ^2} + \\ &{\left.{I_2}{\omega ^2}\left\{ {{{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)}^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right] + 2{{\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)}^2}} \right\}\right\}} \displaystyle\frac{{\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)}}{{{{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)}^2}\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]\left[ {\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + \varepsilon } \right]}} \end{split}$

(24)

板发生屈曲时，临界条件为 $\omega = 0$ ^[20]，代入式(24)可得振动屈曲临界荷载为

${N_{\rm{cr}}}{\rm{ = }}{D_{11}}{\left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{{{L_{\rm{cr}}}}}} \right)^2}\displaystyle\frac{{\left[ {{i^4} + {{\left( {i + 1} \right)}^4}} \right]\sin \varphi }}{{\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]\left( {\sin \varphi + \varepsilon } \right)}} + \left( {2{D_{12}} + 4{D_{66}}} \right){\left( {\displaystyle\frac{{j{\text{π}} }}{{{L_{\rm{b}}}}}} \right)^2}\displaystyle\frac{{\sin \varphi}}{{\left( {\sin \varphi + \varepsilon } \right)}} + 2{D_{22}}{\left( {\displaystyle\frac{{{j^2}{\text{π}} }}{{L_{\rm{b}}^2}}} \right)^2}L_{{\rm{cr}}}^2\displaystyle\frac{{\sin \varphi}}{{\left[ {{i^2} + {{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right]\left( {\sin \varphi + \varepsilon } \right)}}$

(25)

2. 算例分析

利用MATLAB数值分析应力波未反射时初始几何缺陷、初相位、铺层角度、屈曲模态阶数、铺设厚度以及铺层层数对复合材料板振动屈曲临界荷载的影响，使用的材料参数见表1^[21]。

表 1 复合材料板参数^[21]

Table 1. Material parameters of composite plate^[21]

E₁/GPa	E₂/GPa	G₁₂/GPa	μ₁₂	L_a/m	L_b/m
140.0	8.6	5.0	0.35	0.60	0.50

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图3显示了复合材料板的模态阶数i为1、2、3，j为1时的屈曲模态。当板的x方向模态增大时，x方向的屈曲模态第一峰值增大且波数增加，而y方向的屈曲模态呈正对称分布。模态阶数的增加使板振动的屈曲模态变得更复杂。

图 3 x方向模态取值增大时板的屈曲模态

Figure 3. Buckling mode of composite plate with increasing mode value in x direction

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设置7组算例，分别以初始几何缺陷、初相位、铺层角度、x和y两个方向屈曲模态阶数、铺层层数及铺设厚度为变量进行算例分析，研究以上因素对板振动屈曲临界荷载的影响，算例参数见表2。

表 2 算例分析参数表

Table 2. Example analysis parameter table

Group	Initial defect coefficient	Order of mode		Laying angle/(°)	Initial phase	Number of layers laid	Thickness of the plate/m
Group	Initial defect coefficient	x direction	y direction	Laying angle/(°)	Initial phase	Number of layers laid	Thickness of the plate/m
A	Variable	i = 1	j = 1	[0, 0, 0, 0, 0]	${\text{π}}$ /2	5	0.01
B	0.1	Variable	j = 1	[0, 0, 0, 0, 0]	${\text{π}}$ /2	5	0.01
C	0.1	i =1	Variable	[0, 0, 0, 0, 0]	${\text{π}}$ /2	5	0.01
D	0.1	i =1	j = 1	Variable	${\text{π}}$ /2	5	0.01
E	0.1	i =1	j = 1	[0, 0, 0, 0, 0]	Variable	5	0.01
F	0.1	i =1	j = 1	[0, 0, 0, 0, 0]	${\text{π}}$ /2	Variable	0.01
G	0.1	i =1	j = 1	[0, 0, 0, 0, 0]	${\text{π}}$ /2	5	Variable

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将A组数据代入式(25)中，可以得到不同初始缺陷系数对复合材料板振动屈曲的影响，如图4所示。由L_cr-N_cr曲线可知：在应力波传播过程中，N_cr呈指数下降，分为敏感区和非敏感区。应力波在L_cr < 0.4 m区域传播时，N_cr的变化较陡峭，该区域为敏感区；应力波在L_cr > 0.4 m区域传播时，N_cr的变化趋于平缓，该区域为非敏感区，因此敏感分界点为0.4 m。当选取的初始缺陷系数增大时，临界荷载N_cr也随之增大。在敏感区，初始缺陷系数对临界荷载N_cr的影响较大，且随应力波传播呈减小趋势。此外，初始缺陷系数对非敏感区的影响较小。图4表明，初始几何缺陷系数越大，板越容易发生屈曲。

图 4 不同初始缺陷系数条件下N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 4. Relationship between N_cr and L_cr under different initial defect coefficients

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将B组数据代入式(25)中，可以得到不同x方向模态阶数对复合材料板振动屈曲的影响，如图5所示。由L_cr-N_cr曲线可知：当选取的x方向模态阶数增大时，临界荷载N_cr随之明显增大。在敏感区，x方向模态阶数对临界荷载N_cr的影响很大，并随应力波的传播不断减小，到达非敏感区之后影响较小并趋于稳定。图5表明，x方向模态阶数的增加会显著增大板的屈曲临界荷载。

图 5 x方向模态阶数不同时N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 5. Relationship between N_cr and L_cr with different order of modes in x direction

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将C组数据代入式(25)中，可以得到不同的y方向模态阶数对复合材料板振动屈曲的影响，如图6所示。由L_cr-N_cr曲线可知：当选取的y方向模态阶数增大时，临界荷载N_cr也随之变大。在应力波传播过程中，在敏感区y方向模态阶数对临界载荷基本没有影响，而在非敏感区有极小的影响。图6表明，y方向模态阶数的变化对板屈曲临界荷载基本没有影响。

图 6 y方向模态阶数不同时N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 6. Relationship between N_cr and L_cr with different order of modes in y direction

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将D组数据代入式(25)中，得到不同铺层角度对复合材料板振动屈曲的影响，如图7所示。由L_cr-N_cr曲线可知：在敏感区，不同的铺设角度对临界荷载N_cr的影响较大，且随应力波的传播不断减小，到达非敏感区后趋于稳定。图7表明，铺层角度小的单层板的层数越多，板的临界屈曲荷载越大，说明复合材料板的铺设角度直接影响板的屈曲临界荷载。

图 7 不同铺层角度条件下N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 7. Relationship between N_cr and L_cr under different laying angles

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将E组数据代入式(25)中，得到不同初相位对复合材料板振动屈曲的影响，如图8所示。由L_cr-N_cr曲线可知：振型函数的初相位越大，对应的临界荷载越大。在敏感区，振型函数的初相位对临界荷载N_cr的影响较小，且随应力波的传播不断减小；到达非敏感区之后，影响趋于平缓。图8表明，振型函数的初相位越大，板的屈曲临界荷载越大。

图 8 不同初相位条件下N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 8. Relationship between N_cr and L_cr under the condition of initial phase of different mode functions

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将F组数据代入式(25)中，得到不同铺层层数对复合材料板振动屈曲的影响，如图9所示。由L_cr-N_cr曲线可知：当按照不同层数铺设时，敏感区的临界荷载N_cr的变化较大，且随应力波的传播不断减小；到达非敏感区之后变化较小并趋于平缓。图9表明，对于厚度固定且对称铺设的板，当铺设层数达到7时，其屈曲荷载随层数增加趋于稳定。

图 9 不同铺层层数下N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 9. Relationship between N_cr and L_cr under different laying modes

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将G组数据代入式(25)中，得到不同铺设厚度对复合材料板振动屈曲的影响，如图10所示。由L_cr-N_cr曲线可知：板的铺设厚度越大，对应的临界荷载越大。在敏感区，不同的板厚对临界荷载N_cr的影响很大，且随应力波的传播不断减小，到达非敏感区后趋于稳定。图10表明，复合材料板的铺设厚度将直接决定板的屈曲临界荷载。

图 10 不同铺设厚度下N_cr与L_cr的关系曲线

Figure 10. Relationship between N_cr and L_cr under different thicknesses

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3. 结　论

基于Kirchhoff薄板理论和Hamilton变分原理，建立了具有初始几何缺陷的四边简支复合材料板的振动控制方程。采用伽辽金法，选取符合边界条件的振型函数求解控制方程，得到屈曲临界载荷表达式。数值计算结果表明：应力波在未发生反射前的传播过程中，复合材料板的振动屈曲临界载荷随着临界长度的增大、铺设厚度的减小、初始几何缺陷系数的增大、振型函数初相位的减小而减小；复合材料板的各层铺层角度与荷载作用方向的夹角越小，屈曲临界载荷越大，当对称铺设层数达7层时，临界荷载趋于稳定。研究结果可为工程中复合材料板的结构设计与应用提供一定的参考。

图 1 战斗部结构示意图

Figure 1. Schematic diagram of warhead structure

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图 2 展开模式示意图

Figure 2. Schematic diagram of expansion modes

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图 3 战斗部的简化模型示意图（单位：mm）

Figure 3. Schematic diagram of warhead model (Unit: mm)

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图 4 选取的起爆点位置示意图

Figure 4. Schematic diagram of initiation point locations

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图 5 轴向展开角示意图

Figure 5. Schematic diagram of axial-expansion angle

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图 6 侧向展开角示意图

Figure 6. Schematic diagram of lateral-expansion angle

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图 7 不同起爆点位置下破片的飞散速度

Figure 7. Fragments’ mean velocity for different initiation points

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图 8 10 μs时不同起爆点位置下壳体所受压强分布云图

Figure 8. Pressure distribution on warhead case for different initiaion points at a time delay of 10 μs

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图 9 不同起爆点位置下的破片数统计

Figure 9. Fragment quantity for different initiation points

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图 10 100 μs时单元体破片的飞散情况

Figure 10. Fragment dispersion of unit constituting warhead at different initiation points at a time delay of 100 μs

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图 11 不同展开角下破片数统计

Figure 11. Fragment quantity at different axial-expansion angles

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图 12 不同轴向展开角下破片位置的散点图

Figure 12. Scatter plots of fragments’ locations at different axial-expansion angles

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图 13 不同轴向展开角下破片的平均速度及其Z轴的分量

Figure 13. Mean velocities and velocities in Z axis of fragments at different expansion angles

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图 14 破片密集区

Figure 14. Dense area of fragments

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图 15 不同轴向展开角下破片的分布情况

Figure 15. Fragment dispersions at different axial-expansion angles

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图 16 破片盲区锥顶角示意图

Figure 16. Schematic diagram of the cone angle for the zone without fragment

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图 17 不同轴向展开角下破片盲区的锥顶角

Figure 17. Cone angles of zone without fragment at different axial-expansion angles

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图 18 侧平面破片飞散角示意图

Figure 18. Schematic diagram of fragments’ dispersion angle in lateral plane

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图 19 不同轴向展开角度下破片的侧平面飞散角

Figure 19. Fragments’ dispersion angles in lateral plane for different axial-expansion angles

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图 20 不同轴向展开角下破片速度随周向角的分布情况

Figure 20. Fragments’ velocity distribution in versus of $\phi$ for different axial-expension angles

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图 21 不同轴向展开角下破片速度随侧平面飞散角的分布情况

Figure 21. Fragments’ velocity distributions in versus of $\delta$ for different axial-expansion angles

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图 22 侧向展开模式下破片飞散情况

Figure 22. Fragment dispersion in lateral-expanding mode

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图 23 侧向展开模式下破片位置散点图

Figure 23. Scatter plot of fragments’ locations in lateral-expanding mode

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图 24 侧向展开模式下破片速度分布

Figure 24. Velocity distribution of fragments in lateral-expanding mode

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表 1 材料模型

Table 1. Material models

Component	Material	Equation of state	Strength model	Failure model
Explosive	Comp. B	JWL	Hydro
Casing	Steel 4340	Linear	Johnson-Cook	Principal strain

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表 2 Comp. B炸药材料参数

Table 2. Material parameters of Comp. B

$\,\rho$ /(g·cm⁻³)	D/(m·s⁻¹)	p_CJ/GPa	A/GPa	B/GPa	R₁	R₂	ω
1.717	7980	29.5	524.2	7.678	4.2	1.1	0.34

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表 3 4340钢材料参数

Table 3. Material parameters of steel 4340

$\,\rho$ /(g·cm⁻³)	I_YS/GPa	H_C/GPa	H_E	S_RC	R_SR	B_M/GPa	S_M/GPa
7.83	0.792	0.51	0.26	0.014	1	159	81.8

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表 4 密集区破片的平均速度

Table 4. Mean velocity of fragments in dense area

$\,\beta$ /(°)	Mean velocity/(m∙s⁻¹)
$\,\beta$ /(°)	d=10 mm	d=20 mm	d=30 mm	d=40 mm	d=50 mm	d=60 mm
60	1180	1182	1225	1287	1311	1323
75	1302	1332	1343	1366	1376	1401
90	1413	1491	1503	1515	1524	1527

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表 5 侧平面飞散角在不同取值区间的破片占比

Table 5. Distribution of fragments at different intervals of dispersion angle in the lateral plane

$\,\beta$ /(°)	$\delta$ _min/(°)	$\delta$ _max/(°)	$x{_\delta}$ /%
$\,\beta$ /(°)	$\delta$ _min/(°)	$\delta$ _max/(°)	$\delta$ <10°	10° −20°	20° −30°	30° −40°	40° −50°	50° −60°	60° −70°	70° −80°	80° −90°	$\delta$ >90°
15	−3.54	33.47	33.26	41.34	22.25	3.15	0	0	0	0	0	0
30	4.24	55.05	6.92	7.14	45.76	31.03	4.02	5.13	0	0	0	0
45	16.76	69.07	0	4.34	5.84	28.35	43.29	13.42	4.76	0	0	0
60	30.98	84.57	0	0	0	13.12	13.62	42.16	25.45	3.34	2.31	0
75	49.99	91.84	0	0	0	0	10.60	21.66	27.19	29.95	9.45	1.15
90	47.75	101.00	0	0	0	0	0.17	8.95	25.99	23.75	29.95	11.19

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表 6 飞散角 $\gamma$ 和 $\eta$ 在不同取值区间内的碎片数占比

Table 6. Fragment distributions at different intervals of dispersion angles $\gamma$ and $\eta$

$x{_\gamma}$ /%									$\gamma$ _max/(°)
0°−5°	5°−10°	10°−15°	15°−20°	20°−25°	25°−30°	30°−35°	35°−40°	40°−45°	$\gamma$ _max/(°)
57.68	23.41	9.88	3.29	2.32	0.73	0.85	0.61	1.23	44.24

$x{_\eta}$ /%									$\eta$ _max/(°)
0°−5°	5°−10°	10°−15°	15°−20°	20°−25°	25°−30°	30°−35°	35°−40°	40°−45°	$\eta$ _max/(°)
54.63	30.00	5.24	2.32	5.98	1.59	0.24	0	0	31.34

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