Simple Method for the Calculation of Bubble Pulsation Period in Underwater Explosion
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摘要: 将爆轰产物状态方程与气泡运动方程相结合,提出了一种水下爆炸气泡脉动周期的数值计算方法,能够快速计算不同炸药水下爆炸的气泡脉动周期。结果表明:采用JWL状态方程与采用
$\gamma$ 律状态方程的气泡周期计算方法相比,前者计算TNT炸药水下爆炸气泡脉动周期的误差更小,计算误差小于3%;通过对比RS211炸药水下爆炸实验结果,进一步验证了该数值计算方法对含铝炸药水下爆炸气泡脉动周期的计算同样具有良好的适用性。Abstract: Based on the detonation product state equation and the Rayleigh-Plesset equation, this paper proposed a numerical method for calculating the bubble pulsation period of underwater explosions. We can quickly calculate the bubble pulsation period of underwater explosions of different explosives. Compared with the bubble period calculation method using the JWL equation of state and the γ equation of state, the former has a smaller error (less than 3%) for TNT explosives. Additionally, by comparing the results of the RS211 explosive underwater explosion experiment, it is further verified that the numerical calculation method has good applicability for aluminum-containing explosives. -
水下爆炸对舰船的毁伤主要包括冲击波和气泡载荷作用[1-2]。气泡脉动压力比冲击波峰值压力小,但作用时间长,能够驱动周围大面积流体运动,形成滞后流,低频的滞后流和脉动压力会对舰船造成严重的总体破坏[3]。气泡脉动特性规律研究始终是水下爆炸研究领域的重要内容。
气泡能是描述炸药水中爆炸气泡载荷的重要参数,同时也是气泡脉动周期的函数[4],因此确定气泡脉动周期是科学评估水下爆炸气泡能的关键。水下爆炸气泡脉动实验研究可以得到真实的气泡脉动周期,但水下爆炸实验过程复杂,不易操作,且费用高昂[5-6]。采用理论或数值模拟方法研究水下爆炸气泡脉动规律,不仅可以节省实验成本,还能快速获知水下爆炸气泡脉动过程等气泡参数。现有的水下爆炸气泡脉动特性理论研究[7-10]主要着眼于炸药装药量和爆炸水深对气泡脉动周期的影响,忽略了炸药化学性质、密度等特征参量的影响,研究对象大多选取理想炸药TNT等,与目前广泛研究的非理想炸药特性差异较大。
本研究考虑炸药物性参数的影响,将炸药爆轰产物状态方程与气泡运动方程相结合,提出能够快速计算自由场中气泡脉动周期的数值计算方法,研究结果可应用于含铝非理想炸药水下爆炸的气泡脉动周期计算。
1. 气泡脉动方程的建立
根据水下爆炸后流场的变化特性,对气泡脉动过程和流场特性进行合理简化。由气泡连续方程积分得到径向速度场,建立气泡的运动方程。利用炸药爆轰产物状态方程确定爆炸气泡的内压变化过程,得到气泡脉动方程。最后采用数值差分方法对方程求解,得到气泡脉动过程的半径时程曲线,进而得到气泡的脉动周期。
1.1 气泡运动方程
采用以下基本假设:
(1) 水介质为不可压缩、无黏、无旋的理想流体;
(2) 无穷远处流场的压力等于炸药水深处的流体静压;
(3) 水下爆炸后形成的高温高压初始气泡的体积很小,不考虑重力的影响;
(4) 在无限自由场中,气泡关于爆炸中心球对称,且按照等熵规律膨胀。
设气泡半径以
$ R=R\left(t\right) $ 的形式进行球状脉动,将控制面取在与气泡同球心的半径为$ r $ 的球面上[9],球状气泡截面如图1所示。在图1中任取一个微元,如图1中的阴影部分所示,控制面微元面积
$ {A}_{1}=4{\text{π}}{r}^{2} $ ,气泡微元面积$ {A}_{2}=4{\text{π}}{R}^{2} $ ,令${u}_{1}=\dfrac{{\rm d}r}{{\rm d}t}$ ,${u}_{2}=\dot{R}=\dfrac{{\rm d}r}{{\rm d}t}{\bigg|}_{r=R}$ ,分别表示气泡在相应半径下的膨胀速度,根据不可压缩流场的质量守恒定理,有$$ {\rho }_{1}{u}_{1}{A}_{1}={\rho }_{2}{u}_{2}{A}_{2} $$ (1) 式中:
${\,\rho }_{1}={\rho }_{2}={\rho }$ ,${\,\rho }$ 为水密度,整理可得$$ {u}_{r}={u}_{1}=\dot{R}\left({R}^{2}/{r}^{2}\right) $$ (2) 再根据不可压缩流场的动量守恒定理,有
$$ \frac{\partial u}{\partial r}+u \cdot \nabla u=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r} $$ (3) 式中:P为沿r方向变化的流场压力。因为气泡是中心对称的,所以将式(3)简化到一维并展开,得到
$$ \frac{\partial {u}_{r}}{\partial t}+{u}_{r}\frac{\partial {u}_{r}}{\partial r}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r} $$ (4) 将式(2)代入式(4)中,可得
$$ \frac{\partial }{\partial t}\left[\dot{R}{\left(\frac{R}{r}\right)}^{2}\right]+\dot{R}{\left(\frac{R}{r}\right)}^{2}\frac{\partial }{\partial r}\left[\dot{R}{\left(\frac{R}{r}\right)}^{2}\right]=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r} $$ (5) 由于控制面取在半径
$ r $ 处,那么在半径$ r $ 处观察就可以将$ r $ 看作与时间独立的量,则式(5)可简化为$$ \ddot{R}{\left(\frac{R}{r}\right)}^{2}+2{\dot{R}}^{2}\frac{R}{{r}^{2}}-2{\dot{R}}^{2}\frac{{R}^{4}}{{r}^{5}}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r} $$ (6) 对式(6)取积分,可得
$$ {\int }_{{R}_{{\rm{b}}}}^{R}\left[\ddot{R}{\left(\frac{R}{r}\right)}^{2}+2{\dot{R}}^{2}\frac{R}{{r}^{2}}-2{\dot{R}}^{2}\frac{{R}^{4}}{{r}^{5}}\right]{\rm{d}}r={\int }_{{R}_{{\rm{b}}}}^{R}\left[-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r}\right]{\rm{d}}r $$ (7) 式中:Rb为气泡半径。对式(7)中的积分进行求解,可得
$$ -\frac{1}{R}\left({R}_{{\rm{b}}}^{2}{\ddot{R}}_{{\rm{b}}}+2{R}_{{\rm{b}}}{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}\right)+\frac{1}{{R}_{{\rm{b}}}}\left({R}_{{\rm{b}}}^{2}{\ddot{R}}_{{\rm{b}}}+2{R}_{{\rm{b}}}{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}\right)+\frac{1}{2}\frac{{R}_{{\rm{b}}}^{4}}{{R}^{4}}{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}-\frac{1}{2}{\dot{R}}^{2}+\frac{1}{\rho }\left(P-{P}_{{\rm{b}}}\right)=0 $$ (8) 式中:Pb为气泡内压。
$ R\to {\infty } $ 时,$ P={P}_{\infty } $ ,于是式(8)可化简为$$ {R}_{{\rm{b}}}{\ddot{R}}_{{\rm{b}}}+\frac{3}{2}{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}+\frac{{P}_{\infty }}{\rho }-\frac{{P}_{{\rm{b}}}}{\rho }=0 $$ (9) 式中:
$ {P}_{\infty } $ 为炸药所处水深处的静水压力,利用公式$ {P}_{\infty }={P}_{0}+\rho gh $ 求得,其中$ {P}_{0} $ 为大气压强,$ h $ 为爆炸水深。式(9)就是气泡的运动方程,求解此运动方程,还需确定气泡内压$ {P}_{{\rm{b}}} $ 。1.2 气泡内压的确定
式(9)中的气泡内压
$ {P}_{{\rm{b}}} $ 可由爆轰产物的状态方程确定。常见的描述炸药瞬时反应后的爆轰产物状态方程有两种:$\gamma$ 律状态方程和JWL状态方程[11]。1.2.1
$\gamma$ 律状态方程爆轰产物的状态用过CJ点的等熵线方程描述,定义爆轰产物等熵线斜率为
$$ \gamma=-{\left(\frac{\partial {\rm{ln}} \,p}{\partial {\rm{ln}} \,v}\right)}_{S}=-\frac{v}{p}{\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)}_{S} $$ (10) 式中:
$ p $ 为爆轰产物的压力,$ v $ 为爆轰产物的比容。由$\gamma$ 的定义,在等熵条件下有$$ \gamma\frac{{\rm d}v}{v}=-\frac{{\rm d}p}{p} $$ (11) 对式(11)积分可得
$\dfrac{p}{{p}_{\rm {CJ}}}={\left(\dfrac{{v}_{\rm {CJ}}}{v}\right)}^{\gamma}$ ,其中${p}_{\rm {CJ}}$ 、${v}_{\rm {CJ}}$ 分别为炸药的CJ爆轰压力和比容。根据质量守恒方程、动量守恒方程以及CJ条件可知,${p}_{\rm {CJ}}=\dfrac{{\rho }_{0}{D}^{2}}{\gamma+1}$ ,${v}_{\rm {CJ}}={v}_{0} \dfrac{{\gamma}}{{\gamma}+1}$ ,其中$ {\rho }_{0} $ 为炸药的密度,$ D $ 为炸药的爆速,$ {v}_{0} $ 为炸药的比容。设$ {v}_{{\rm{b}}} $ 为气泡膨胀半径为$ {R}_{{\rm{b}}} $ 时的气体产物比容,$ {R}_{0} $ 为炸药的初始半径,可得水下爆炸气泡内压[7]$$ {p}_{{\rm{b}}}={p}_{\rm {CJ}}{\left(\frac{{v}_{\rm {CJ}}}{{v}_{{\rm{b}}}}\right)}^{{\gamma}}=\frac{{\rho }_{0}{D}^{2}}{{\gamma}+1} {\left(\frac{{\gamma}}{{\gamma}+1}\right)}^{{\gamma}} {\left(\frac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3{\gamma}} $$ (12) 1.2.2 JWL状态方程
标准形式的爆轰产物JWL状态方程为
$$ p\left(e, \overline {v}\right)=A{\left(1-\frac{\omega }{{R}_{1}\overline {v}}\right){{\rm{e}}}^{-{R}_{1}\overline {v}}}+B\left(1-\frac{\omega }{{R}_{2}\overline {v}}\right){{\rm{e}}}^{-{R}_{2}\overline {v}}+\frac{\omega }{\overline {v}}e $$ (13) 式中:A、B、R1、R2、ω为状态方程参数;
$ \overline {v}={v}_{{\rm{b}}}/{v}_{0} $ 为爆轰产物的相对比容,为无量纲量;$ e $ 为单位初始体积的比内能。所以水下爆炸气泡的内压为$$ {p}_{{\rm{b}}}=A{\left[1-\frac{\omega }{{R}_{1}} {\left(\frac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3}\right]{{\rm{e}}}^{-{R}_{1}{\left(\tfrac{{R}_{{\rm{b}}}}{{R}_{0}}\right)}^{3}}}+B\left[1-\frac{\omega }{{R}_{2}} {\left(\frac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3}\right]{{\rm{e}}}^{-{R}_{2}{\left(\tfrac{{R}_{{\rm{b}}}}{{R}_{0}}\right)}^{3}}+\omega e {\left(\frac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3} $$ (14) JWL状态方程中的3项
$ A{{\rm{e}}}^{-{R}_{1}\overline {v}} $ 、$ B{{\rm{e}}}^{-{R}_{2}\overline {v}} $ 和$ C{\overline {v}}^{-\left(1+\omega \right)} $ 分别在高、中和低压力范围内起主要作用[12],因此式(14)既可以描述爆炸冲击载荷的高压段,也可以描述低压段,能够更加准确地描述爆轰产物的膨胀驱动过程。1.3 气泡脉动方程
描述爆轰产物状态的
$\gamma$ 律状态方程和JWL状态方程均可得到水下爆炸气泡内压的变化过程,将其与球状气泡运动方程相结合。将式(12)代入式(9),可得到由
$\gamma$ 律状态方程确定的气泡脉动方程$$ {\ddot{R}}_{{\rm{b}}}=\frac{\dfrac{{\rho }_{0}{D}^{2}}{{\gamma}+1} {\left(\dfrac{{\gamma}}{{\gamma}+1}\right)}^{{\gamma}} {\left(\dfrac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3{\gamma}}}{\rho {R}_{{\rm{b}}}}-\frac{{P}_{\infty }}{\rho {R}_{{\rm{b}}}}-\frac{3}{2}\frac{{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}}{{R}_{{\rm{b}}}} $$ (15) 将式(14)代入式(9),可得到由JWL状态方程确定的气泡脉动方程
$$ {\ddot{R}}_{{\rm{b}}}=\left\{A{\left[1-\dfrac{\omega }{{R}_{1}} {\left(\dfrac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3}\right]{{\rm{e}}}^{-{R}_{1}{{\left(\tfrac{{R}_{{\rm{b}}}}{{R}_{0}}\right)}}^{3}}}+B\left[1-\dfrac{\omega }{{R}_{2}} {\left(\dfrac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3}\right]{{\rm{e}}}^{-{R}_{2}{\left(\tfrac{{R}_{{\rm{b}}}}{{R}_{0}}\right)}^{3}}+\omega e {\left(\dfrac{{R}_{0}}{{R}_{{\rm{b}}}}\right)}^{3}\right\}\dfrac{1}{\rho {R}_{{\rm{b}}}}-\dfrac{{P}_{\infty }}{\rho {R}_{{\rm{b}}}}-\dfrac{3}{2}\dfrac{{\dot{R}}_{{\rm{b}}}^{2}}{{R}_{{\rm{b}}}} $$ (16) 式(15)和式(16)分别为两种状态方程推导后得到的气泡脉动方程,对其进行求解可得到气泡的脉动周期。
1.4 求解气泡脉动方程
式(15)和式(16)具有二阶常微分方程初值问题的标准形式
$$ {\ddot{R}}_{{\rm{b}}}=f\left(t,{R}_{{\rm{b}}},\dot{{R}_{{\rm{b}}}}\right) $$ (17) 令
$\dot{{R}_{{\rm{b}}}}=z$ ,${R}_{{\rm{b}}}=y$ ,将式(17)转化为一阶方程组的初值问题$$ \left\{\begin{array}{l} \dot{y}=z ,\; {y}_{0}={R}_{0} \\ \dot{z}=f\left(t,y,z\right) ,\;\; {z}_{0}=0 \end{array}\right. $$ (18) 常微分方程一般采用显式差分方法求解,本研究分别选取了欧拉法和高阶龙格库塔法对式(15)和式(16)进行试算[13]。欧拉法在计算时最简单,但其整体截断误差为
${{O}}\left(h\right)$ ,计算精度较差,对时间步长要求高,且无法计算小当量炸药的气泡脉动方程。高阶龙格库塔法格式对称,应用广泛,整体截断误差对应为${{O}}\left({h}^{n}\right)$ ,具有更高的计算精度,其中四阶龙格库塔法的计算精度高于二阶龙格库塔法,且两者计算时长相差不大,均可计算任意当量炸药的气泡脉动方程。因此选取四阶龙格库塔法对上述气泡脉动基本方程进行求解,计算时间步长$ \Delta t $ 取2 ms。2. 结果与分析
利用气泡脉动方程分别计算理想炸药TNT和含铝炸药RS211水下爆炸的气泡脉动周期,并与气泡周期实测结果进行对比分析。其中水深条件通过
$ {P}_{\infty }={P}_{0}+\rho gh $ 换算为炸药水深处的流体静压;实验水温相比水下爆炸作用对气泡脉动的影响很小,可不考虑。2.1 TNT炸药水下爆炸气泡脉动周期计算
采用
$\gamma$ 律状态方程求解计算时,TNT炸药的爆速$D=6\;880 \;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ ,密度${\,\rho }_{0}=1\;580 \;{\rm{kg}}/{\rm{m}^{ 3}}$ ,爆轰产物的γ值为3[7]。采用JWL状态方程求解计算时,TNT炸药的具体参数如表1[14]所示。王建灵等[15]利用实验方法测量了水深为3 m时,不同药量TNT炸药水下起爆后的气泡脉动周期,实验中炸药所处水深大于气泡脉动最大半径的1.5倍,因此可以忽略自由液面对气泡脉动周期的影响,参考其实验工况条件,两种状态方程计算出的气泡半径变化曲线如图2所示。
选取气泡脉动初始时刻到第一次脉动至最小半径时刻为一个脉动周期,气泡脉动周期计算结果与实验结果的对比如表2所示,表中:
${T}_{\rm s}$ 为气泡周期实测值,${T}_{\rm b1}$ 为$\gamma$ 律状态方程计算的气泡周期,δ1为Tb1与Ts的相对偏差,${T}_{\rm b2}$ 为JWL状态方程计算的气泡周期,δ2为Tb2与Ts的相对偏差。表 2 不同药量TNT气泡周期实测值与计算值结果对比Table 2. Comparison of the measured and calculated results of bubble pulsation period of TNT explosivem/g ${T}{_{\rm s} }$/ms ${T}{_{\rm b1}}$/ms $\delta{_1}$/% ${T}{_{\rm b2}}$/ms $\delta{_2}$/% 200 145.19 154.17 6.18 149.94 3.27 300 166.13 175.62 5.71 170.78 2.92 400 182.85 192.50 5.27 188.17 2.91 600 210.00 220.79 5.14 215.69 2.71 800 231.97 243.31 4.88 237.60 2.43 1000 250.11 261.33 4.48 255.10 1.99 由表2可知,基于两种状态方程的气泡脉动周期计算结果与实测值的相对偏差均小于7%,表明该方法具有较高的计算精度。从表2中还可看出,无论是采用JWL状态方程还是γ律状态方程求解气泡脉动方程得出的脉动周期,计算结果都比实测值高,这可能是由于在计算气泡内压变化过程中没有考虑能量耗散所致。
两种状态方程计算的水下爆炸气泡脉动周期值与实测结果的相对偏差δ随装药量的变化曲线如图3所示。从图3可以看出,采用JWL状态方程计算出的气泡脉动周期结果与实测值的相对偏差更小,平均相对偏差约为γ律状态方程计算相对偏差的1/2,由JWL状态方程计算的气泡脉动周期的精度更高,这是由于JWL状态方程考虑的炸药爆轰能量输出特性更全面。
2.2 RS211炸药水下爆炸气泡脉动周期计算
采用JWL状态方程计算RS211炸药水中起爆后的气泡脉动周期,RS211炸药的JWL状态方程具体参数如表3[16]所示。
将计算结果与RS211炸药水下爆炸实验测量的气泡脉动周期结果进行对比[17-20],结果见表4。由表4可知:采用JWL状态方程计算的RS211炸药水下爆炸气泡脉动结果与实测结果的相对偏差均在3%以内,具有良好的计算精度,可应用于含铝炸药水下爆炸气泡脉动周期的计算。
表 4 RS211炸药水下爆炸气泡脉动周期计算和实验结果对比Table 4. Comparison of calculated and experimental results of bubble pulsation period of RS211 explosiveh/m m/g ${T}{_{\rm s}}$/ms ${T}{_{\rm b2} }$/ms $\delta$/% 5 1076 258.5 262.4 1.51 5 1067 257.8 261.7 1.51 5 5000 400.0 409.8 2.45 12 3000 273.3 269.1 −1.54 3. 结 论
基于气泡运动方程,结合爆轰产物状态方程,给出了一种水下爆炸气泡脉动周期的简便数值计算方法。将计算结果与不同类型炸药水下爆炸气泡脉动周期实测结果进行对比分析,得到以下结论:
(1) 两种状态方程计算的TNT炸药水下爆炸气泡脉动周期与实测值的相对偏差均小于7%,具有较高的计算精度,采用JWL状态方程计算含铝炸药RS211水下爆炸气泡脉动周期的相对偏差在3%以内,可以很好地用于含铝炸药水下爆炸气泡脉动周期的计算;
(2) 采用JWL状态方程的气泡脉动周期计算结果精度比γ律状态方程更高,这是由于JWL状态方程在描述炸药爆轰能量输出特性时更全面,因此若使用修正后的JWL-Miller状态方程来描述非理想炸药爆轰过程,会进一步提高非理想炸药水下爆炸气泡脉动周期的计算精度。
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$A/$GPa $B/$GPa $ {R}_{1} $ $ {R}_{2} $ $\omega$ ${\,\rho }{_{0}} /$(kg·m−3) 371.2 3.231 4.485 0.79 0.30 1580 表 2 不同药量TNT气泡周期实测值与计算值结果对比
Table 2. Comparison of the measured and calculated results of bubble pulsation period of TNT explosive
m/g ${T}{_{\rm s} }$/ms ${T}{_{\rm b1}}$/ms $\delta{_1}$/% ${T}{_{\rm b2}}$/ms $\delta{_2}$/% 200 145.19 154.17 6.18 149.94 3.27 300 166.13 175.62 5.71 170.78 2.92 400 182.85 192.50 5.27 188.17 2.91 600 210.00 220.79 5.14 215.69 2.71 800 231.97 243.31 4.88 237.60 2.43 1000 250.11 261.33 4.48 255.10 1.99 $A/$GPa $B/$GPa $ {R}_{1} $ $ {R}_{2} $ $ \omega $ ${\,\rho }{_{0} }/$(kg·m−3) 758 8.51 4.9 1.1 0.2 1630 表 4 RS211炸药水下爆炸气泡脉动周期计算和实验结果对比
Table 4. Comparison of calculated and experimental results of bubble pulsation period of RS211 explosive
h/m m/g ${T}{_{\rm s}}$/ms ${T}{_{\rm b2} }$/ms $\delta$/% 5 1076 258.5 262.4 1.51 5 1067 257.8 261.7 1.51 5 5000 400.0 409.8 2.45 12 3000 273.3 269.1 −1.54 -
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