轴向载荷下功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲分析

黄悦 韩志军 路国运

黄悦, 韩志军, 路国运. 轴向载荷下功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲分析[J]. 高压物理学报, 2018, 32(4): 044104. doi: 10.11858/gywlxb.20180509
引用本文: 黄悦, 韩志军, 路国运. 轴向载荷下功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲分析[J]. 高压物理学报, 2018, 32(4): 044104. doi: 10.11858/gywlxb.20180509
HUANG Yue, HAN Zhijun, LU Guoyun. Dynamic Buckling of Functionally Graded Timoshenko Beam under Axial Load[J]. Chinese Journal of High Pressure Physics, 2018, 32(4): 044104. doi: 10.11858/gywlxb.20180509
Citation: HUANG Yue, HAN Zhijun, LU Guoyun. Dynamic Buckling of Functionally Graded Timoshenko Beam under Axial Load[J]. Chinese Journal of High Pressure Physics, 2018, 32(4): 044104. doi: 10.11858/gywlxb.20180509

轴向载荷下功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲分析

doi: 10.11858/gywlxb.20180509
基金项目: 

国家自然科学基金 11372209

山西省研究生教育改革研究课题 2015JG41

详细信息
    作者简介:

    黄悦(1991-), 女, 硕士研究生, 主要从事非线性动力屈曲研究.E-mail:huangyue_tyut@163.com

    通讯作者:

    韩志军(1964-), 男, 博士, 教授, 主要从事非线性动力屈曲研究.E-mail:13073578705@126.com

  • 中图分类号: O344.1;TB333

Dynamic Buckling of Functionally Graded Timoshenko Beam under Axial Load

  • 摘要: 假设功能梯度材料Timoshenko梁各项物性参数只沿厚度方向按幂函数进行连续变化,研究了功能梯度材料Timoshenko梁的动力屈曲。基于一阶剪切理论,采用Hamilton原理推导出轴向载荷作用下,功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲的控制方程。利用里兹法与棣莫弗公式相结合,获得了功能梯度材料Timoshenko梁在夹支-固支边界条件下动力屈曲临界载荷的解析表达式和屈曲解。应用MATLAB编程计算,讨论了功能梯度材料Timoshenko梁的几何尺寸、梯度指数、模态数、材料构成、泊松比以及弹性模量对临界载荷的影响。结果表明:功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲临界载荷随梁长度的增大而减小,随着梯度指数的增大而减小,随模态数的增大而增大,说明冲击载荷越大,高阶模态越容易被激发;随着泊松比和弹性模量的增大而增大,且泊松比的影响较小,而弹性模量的影响较大。由于剪切项的影响,临界载荷-临界长度的关系曲线在加载端变化趋势平缓。随着模态数的增大,梁的屈曲模态越为复杂。

     

  • 功能梯度材料是一种集各组分于一体的新型材料,其微观结构和综合性能都呈连续性变化,从而降低了材料的应力集中,提高了材料的性能与功能。因此,功能梯度材料在航天航空、船舶工业、汽车工业、能源工业以及生物医学工业等工程领域有广泛的应用前景,国内外众多学者对功能梯度材料进行了深入的分析和探究[1-3]。Kocaturk和Akbaş[4-5]考虑几何非线性,使用有限元法对不同边界条件下功能梯度材料Timoshenko梁在热载作用下的后屈曲进行了分析。Paul[6]对面内热负荷作用下功能梯度材料Timoshenko梁的后屈曲进行了研究。Şimşek[7]基于Timoshenko梁理论,首次对功能梯度材料在双向递变情况下的梁动力屈曲进行了讨论。Eltaher等[8]基于Timoshenko梁理论和最小势能原理,运用有限元法对功能梯度材料Timoshenko梁的动力屈曲进行了分析。Rahimi等[9]基于Timoshenko梁理论,采用Von-Karman非线性应变-位移关系,对功能梯度材料梁的后屈曲进行了研究。Li[10]比较了轴向载荷作用下功能梯度材料Timoshenko梁和欧拉-伯努利梁的临界屈曲载荷之间的关系。Kahya等[11]采用有限元软件对功能梯度梁的动力屈曲以及自由振动进行了分析。Kiani[12]基于欧拉-伯努利梁理论,对不同热载荷作用下功能梯度材料梁的动力屈曲进行了研究。Anandrao[13]运用里兹法和有限元法对均匀细长功能梯度梁热后屈曲进行了讨论。Akbaş等[14]利用Newton-Raphson迭代法结合有限元法研究了热载荷作用下功能梯度梁的后屈曲行为。Rychlewska[15]通过等效梁近似功能梯度梁,对功能梯度梁进行了动力屈曲分析。综上所述,功能梯度梁的屈曲研究主要以数值计算为主。

    本研究基于一阶剪切理论,利用Hamilton原理推导出功能梯度材料Timoshenko梁动力屈曲的控制方程;采用里兹法结合棣莫弗公式,导出功能梯度材料Timoshenko梁在夹支-固支边界条件下动力屈曲临界载荷的解析表达式;应用MATLAB软件编程计算,讨论功能梯度材料Timoshenko梁的几何尺寸、梯度指数、模态数、材料构成、泊松比以及弹性模量对临界载荷的影响。

    功能梯度材料Timoshenko梁的各项物性参数只沿厚度(z)方向按幂函数连续变化,表示为[16]

        Ez=(EcEm)(12+zh)k+Em
    (1)
        ρz=(ρcρm)(12+zh)k+ρm
    (2)
        μz=(μcμm)(12+zh)k+μm
    (3)
        Gz=Ez2(1μz)
    (4)

    式中:Ec是陶瓷的弹性模量,Em是金属的弹性模量,ρc是陶瓷的密度,ρm是金属的密度,μc是陶瓷的泊松比,μm是金属的泊松比, k是梯度指数。

    图 1所示,功能梯度材料Timoshenko梁的长为l,宽为b,高为h,材料各项性质只沿高度方向呈连续性变化,剖面中心线为x轴,设其轴向位移为u(x, t),横向位移为w(x, t),横截面转角为φ。基于平截面假定,由一阶剪切理论,Timoshenko梁的位移及应变[17]可表示为

    {u=u0zφw=w0
    (5)
    {εx=ε0x+zkxγxz=γ0xz
    (6)
        ε0x=u0x,γ0xz=w0xφ,kx=φx
    (7)
    图  1  受轴向载荷作用的Timoshenko梁
    Figure  1.  Timoshenko beam under axial load

    式中:u0是杆的中性面在x轴方向的位移,w0是杆的中性面在z轴方向的位移,εx0是杆的中性面在x方向的正应变,γxz0是杆的中性面在xz方向的切应变,kx是杆件任意点在x轴方向上的曲率。

    其内力、剪力及内力矩可表示为

        Nx=A11ε0x+B11kx
    (8)
        Qx=KA55(w0xφ)
    (9)
        Mx=B11ε0x+D11kx
    (10)

    式中:A11为拉伸刚度系数; B11为耦合刚度系数; D11为扭转刚度系数; A55为剪切刚度系数; K为剪切修正系数,取K=5/6。

    A11=h/2h/2Ez1μ2zdz
    (11)
    B11=h/2h/2zEz1μ2zdz
    (12)
    D11=h/2h/2z2Ez1μ2zdz
    (13)
    A55=h/2h/2Ez2(1+μz)dz
    (14)
        U=12l0b0h/2h/2(Nxε0x+Mxkx+Qxγxz)dxdydz
    (15)
        T=12l0b0h/2h/2ρz[(ut)2+(wt)2]dxdydz
    (16)
        W=12l0b0h/2h/2Nx(wx)2dxdydz
    (17)

    定义广义变量为

    (I0,I1,I2)=h/2h/2ρz(1,z,z2)dz
    (18)

    将(15)式~(18)式代入Hamilton原理,即δt2t1(TU+W)dt=0,由u0v0φ的变分系数取零可得

    δu0:I02u0t2+I12φt2+A112u0x2B112φx2=0
    (19)
    δw0:I02w0t2N(t)2w0x2+KA552w0x2KA55φx=0
    (20)
    δφ:I12u0t2+I22φt2B112u0x2+D112φx2KA55φ+KA55w0x=0
    (21)

    不考虑轴向惯性[18],将(21)式对x求导可得

    I23φt2x+D113φx3KA55φx+KA552w0x2=0
    (22)

    对(20)式进行偏导计算,得

    {KA55φx=I02w0t2N(t)2w0x2+KA552w0x2KA553φxt2=I04w0t4N(t)4w0x2t2+KA554w0x2t2KA552φx2=I03w0t2xN(t)3w0x3+KA553w0x3KA553φx3=I04w0t2x2N(t)4w0x4+KA554w0x4
    (23)

    将(23)式代入(22)式,得到控制方程为

    D11KA55[I04wx2t2N(t)4wx4]+D114wx4+I2KA55[I04wt4+N(t)4wx2t2]I24wx2t2+I02wt2+N(t)2wx2=0
    (24)

    设一端夹支、一端固支梁的动力屈曲解的形式为[19]

    w=T(t)(Asinn1πxl+Bsinn2πxl)
    (25)

    式中:n1n2为屈曲的模态阶数,AB为待求系数。动力屈曲解要满足下列一端夹支、一端固支梁的边界条件

    w(0)=wx|x=0=w(l)=wx|x=l=0
    (26)

    将(26)式代入(25)式可得

    {An1πl+Bn2πl=0An1πlcos(n1π)+Bn2πlcos(n2π)=0
    (27)

    若(27)式有解则cos(n1π)与cos(n2π)奇偶性相同,即n2=n1+2。又An1πl+Bn2πl=0,即AB=n2n1。取A=1,B=n1n2。则梁的动力屈曲解的形式化为

    w=T(t)(sinn1πxln1n2sinn2πxl)
    (28)

    式中:n1n2是屈曲的模态阶数,且n1=1, 2, 3,…; n2=n1+2。

    对(28)式求偏导可得

    {wxx=Tn1π2l2(n1sinn1πxl+n2sinn2πxl)wtt=Ttt(sinn1πxln1n2sinn2πxl)wxxtt=Tttn1π2l2(n1sinn1πxl+n2sinn2πxl)wxxxx=Tn1π4l4(n31sinn1πxln32sinn2πxl)wtttt=Ttttt(sinn1πxln1n2sinn2πxl)
    (29)

    由棣莫弗公式(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)可得

    sinnπxlsinπxl=C1n(cosπxl)n1C3n(cosπxl)n3(sinπxl)2+
    (30)

    将(29)式除以sinπxl,当梁发生屈曲,即x=l时有

    {wxxsinπxl=Tn1π2l2(n21+n22)wttsinπxl=Ttt(n1n1)=0wxxttsinπxl=Tttn1π2l2(n21+n22)wxxxxsinπxl=Tn1π4l4(n41n42)wttttsinπxl=Ttttt(n1n1)=0
    (31)

    将(31)式代入控制方程得

    Ttt+T(αβ)=0
    (32)

    其中

    α=N(t)D11(n21+n22)π2+KA55l2[D11I0+I2N(t)I2KA55],β=D11(n21+n22)π2KA55[D11I0+I2N(t)I2KA55]l2

    α-β<0时, 方程的解为指数形式的发散解,表明系统经受微小的扰动后,运动为无界,因此系统呈现不稳定的状态。当α-β>0时,表明系统围绕平衡位置做微小振动,因此系统呈现稳定平衡的状态[19]。当α-β=0时为Timoshenko梁屈曲临界状态,由此推出动力屈曲临界载荷的表达式为

    Ncr=D11(n21+n22)π2KA55D11(n21+n22)π2+KA55l2cr
    (33)

    (33)式表明:剪切项对动力屈曲临界载荷有一定的影响,当临界长度lcr=0时,临界载荷为KA55

    运用MATLAB软件对(33)式进行编程计算,材料选取陶瓷/钛功能梯度材料、陶瓷/铁功能梯度材料和陶瓷/铜功能梯度材料。梁的宽度b=2cm,厚度h=3cm。讨论梁厚度、模态数(n)、梯度指数(k)、泊松比(μ)、弹性模量(E)以及材料构成对临界载荷的影响。材料各参数如表 1所示。

    表  1  材料各项参数
    Table  1.  Material parameters
    Material Elasticity modulus
    E/GPa
    Density
    ρ/ (g·cm-3)
    Poisson's ratio
    μ
    Ceramic 385 3.96 0.23
    Titanium 108.5 4.54 0.41
    Iron 155 7.86 0.291
    Copper 119 8.96 0.326
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    图 2所示为n=1、k=1/2时,不同材料构成下临界载荷Ncr与临界长度lcr的关系曲线。当hnkμ以及E一定,材料构成不同时,其Ncr随着lcr的增加而减小。当lcr相同时,陶瓷/铁材料的临界载荷值高于陶瓷-钛材料,且陶瓷/钛材料梁与陶瓷/铜材料梁的Ncr-lcr曲线在lcr超过1m时接近重合。由于剪切项的影响,曲线在加载端变化趋势平缓。

    图  2  不同材料构成下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  2.  Relationship between critical load and critical length for different materials

    图 3所示为陶瓷/钛功能梯度材料梁在n=1时,不同kNcrlcr的关系曲线。当梁的hnμE以及材料构成一定,k不同时,其Ncr随着lcr的增大而减小。当lcr相同时,Ncr随着的k的增大而减小。由于剪切项的影响,曲线在加载端变化趋势也平缓,如图 2所示。

    图  3  不同梯度指数下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  3.  Relationship between critical load and critical length for different gradient indexes

    图 4所示为陶瓷/钛功能梯度材料梁在k=1/2时,不同nNcrlcr的关系曲线。当梁的hkμE以及材料构成一定,n不同时,其Ncr随着lcr的增大而减小。当lcr相同时,Ncr随着n的增大而增大。这表明冲击载荷越大,高阶模态越容易被激发。

    图  4  不同模态数下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  4.  Relationship between critical load and critical length for different modal numbers

    图 5表示陶瓷/钛功能梯度材料梁在k=1/2、n=1时,不同hNcrlcr的关系曲线。当梁的nkμE以及材料构成一定,h不同时,其Ncr随着lcr的增大而减小。当lcr相同时,Ncr随着h的增大而增大。

    图  5  不同截面高度下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  5.  Relationship between critical load and critical length for different heights

    图 6表示k=1/2、n=1、μ=0.41时,不同ENcrlcr的关系曲线。当梁的hkμn一定,E不同时,其Ncr随着lcr的增大而减小。当lcr相同时,Ncr随着E的增大而增大。

    图  6  不同弹性模量下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  6.  Relationship between critical load and critical length for different elasticity modulus

    图 7表示k=1/3、n=1、E=100GPa时,不同μNcrlcr的关系曲线。当梁的hkEn一定,μ不同时,其Ncr随着lcr的增大而减小。当lcr相同时,不同μ下曲线接近重合,表明μNcr的影响不大。

    图  7  不同泊松比下临界载荷与临界长度的关系
    Figure  7.  Relationship between critical load and critical length for different Poisson's ratios

    图 8~图 11是陶瓷/钛功能梯度材料梁在k=1/2时,不同模态数下的屈曲模态图。可见,随着模态数n的增大,梁的屈曲模态越发复杂。固定端屈曲模态的幅值较大,对比不同模态下的固支端与夹支端,其幅值比例范围为1.62~2.88。

    图  8  梁屈曲模态数取n=1模态图
    Figure  8.  Buckling mode of beam for n=1
    图  9  梁屈曲模态数取n=2模态图
    Figure  9.  Buckling mode of beam for n=2
    图  10  梁屈曲模态数取n=3模态图
    Figure  10.  Buckling mode of beam for n=3
    图  11  梁屈曲模态数取n=4模态图
    Figure  11.  Buckling mode of beam for n=4

    (1) 基于一阶剪切理论,通过Hamilton原理推导出功能梯度材料Timoshenko梁的动力屈曲控制方程。

    (2) 用里兹法与棣莫弗公式相结合,得到了功能梯度材料Timoshenko梁在夹支-固支边界条件下动力屈曲临界载荷的解析表达式及屈曲解。

    (3) 应用MATLAB软件,讨论了功能梯度材料Timoshenko梁的几何尺寸、梯度指数、模态数、材料构成、泊松比以及弹性模量对临界载荷的影响。结果表明:功能梯度材料Timoshenko梁的动力屈曲临界载荷随着梁长度、梯度指数的增大而减小;临界载荷随模态数的增大而增大,且冲击载荷越大,高阶模态越容易被激发;临界载荷随泊松比及弹性模量的增大而增大,且泊松比的影响不大,而弹性模量的影响较大。由于剪切项的影响,临界载荷-临界长度的关系曲线在加载端变化趋势平缓;随着模态数的增大,梁的屈曲模态越发复杂。

  • 图  受轴向载荷作用的Timoshenko梁

    Figure  1.  Timoshenko beam under axial load

    图  不同材料构成下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  2.  Relationship between critical load and critical length for different materials

    图  不同梯度指数下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  3.  Relationship between critical load and critical length for different gradient indexes

    图  不同模态数下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  4.  Relationship between critical load and critical length for different modal numbers

    图  不同截面高度下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  5.  Relationship between critical load and critical length for different heights

    图  不同弹性模量下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  6.  Relationship between critical load and critical length for different elasticity modulus

    图  不同泊松比下临界载荷与临界长度的关系

    Figure  7.  Relationship between critical load and critical length for different Poisson's ratios

    图  梁屈曲模态数取n=1模态图

    Figure  8.  Buckling mode of beam for n=1

    图  梁屈曲模态数取n=2模态图

    Figure  9.  Buckling mode of beam for n=2

    图  10  梁屈曲模态数取n=3模态图

    Figure  10.  Buckling mode of beam for n=3

    图  11  梁屈曲模态数取n=4模态图

    Figure  11.  Buckling mode of beam for n=4

    表  1  材料各项参数

    Table  1.   Material parameters

    Material Elasticity modulus
    E/GPa
    Density
    ρ/ (g·cm-3)
    Poisson's ratio
    μ
    Ceramic 385 3.96 0.23
    Titanium 108.5 4.54 0.41
    Iron 155 7.86 0.291
    Copper 119 8.96 0.326
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  • 收稿日期:  2018-01-22
  • 修回日期:  2018-02-06

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