多层级点阵结构具有密度低、比刚度高等特点，优异的结构性能使其具有非常广泛的应用前景^[1-4]。科研人员在多层级点阵结构的几何形状及力学性能方面开展了大量研究工作^[5-9]。Wang等^[10]提出了一种基于密度拓扑优化的非均匀点阵微结构分层结构的设计和建模方法，生成了一系列具有相似拓扑特征的参数化晶格的微结构，并通过实验进行了验证，结果表明，与具有均匀点阵微结构相比，具有非均匀点阵微结构的层次化结构拥有更加良好的可制造性，结构性能显著提高。Yin等^[11]制备了自相似层次八轴桁架晶格材料，与非分层晶格材料不同，分层晶格材料的力学性能不受相对密度的影响，而随两层晶格材料的杆长细比而变化，分层结构可以用于获得传统材料无法实现的独特力学性能。同时，层级结构在吸收冲击和振动方面也有非常突出的表现，Chen等^[12]设计了一种以拉伸为主的超材料，这类晶格超材料具有优异的减振性能。

由于多层级结构较为复杂，传统加工工艺难以直接制备，因此考虑具备复杂构型制备能力的新型增材制造技术，如选择性激光熔化（SLM）、电子束熔化（EBM）、熔融沉积法（FDM）等，这些增材制造技术使复杂结构的精确制造成为可能^[13-17]。Tan等^[18]通过增材制造技术制备了骨骼仿生TiNi功能梯度晶格结构（FGLS），与均匀晶格相比，尽管结构孔隙率相同，但是仿生FGLS具有更好的生物力学相容性以及更高的强度和延展性。Yan等^[19]通过3D打印技术制备了一类仿生三维网络，用于由周期性排列的螺旋微结构组成的软构筑材料，能够准确地再现三维生物组织的各向异性、非线性应力-应变响应。Kumar等^[20]使用FDM技术，以海胆形态为灵感设计了一种新型壳状点阵结构，且这种结构不需要任何支撑，其刚度性能几乎是相同密度、相同基准弯曲主导体心立方（BCC）晶格结构和乙烯醋酸乙烯（EVA）泡沫的两倍。

本研究将对面心立方层级结构进行优化设计，建立层级结构的有限元模型，通过FDM制备试样进行准静态压缩实验，以验证有限元模型的正确性，此外，通过能量吸收指标评估优化后层级结构的吸能特性。

1.   设计思路

如图1(a)所示，受层间网格结构和点阵结构的启发，设计了面心立方层级初始结构（即M-1），结构尺寸为49 mm×49 mm×10 mm，直梁的横截面均为1 mm×1 mm的正方形。

图  1  面心立方层级结构(a)和不同振幅下的正弦曲线梁(b)

Figure  1.  Face-centered cubic hierarchical structure (a) and sinusoidal beams of different amplitudes (b)

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第1种设计方法是引入正弦曲线梁代替初始的直梁。本研究将初始直梁模型与3种不同振幅的正弦曲线梁模型进行对比，如图1(b)所示。正弦曲线梁的函数公式为

式中：x∈(0 , L)，L为直梁的长度；y为直梁的波动程度；A为曲线振幅。直梁的波动程度由振幅A控制，分别选取0.25、0.50和1.00 mm，即AM-1、AM-2和AM-3。由于存在初始振幅，因此曲线梁的变形明显以弯曲为主；当轴向受压时，横向变形中正弦曲线被拉伸成近似直线，变形转变为以拉伸为主。Liu等^[21]通过面外冲击试验验证了正弦曲线结构优越的面外性能。

第2种设计方法是改变直梁间距，通过减小间距、增加塑性铰个数，或调整间距来改变塑性铰位置，调整后的结构分别为D-1、D-2和D-3，如图2所示。第3种设计方法是将部分直梁角度调整为30°、45°、60°、90°和135°，间隔分布优化后得到4种构型，分别为AN-1、AN-2、AN-3和AN-4。第4种设计方法是在层间引入正三角形（H-1）和内凹形（H-2）两种蜂窝结构层，如图3所示，从结构吸能特性来看，蜂窝结构的表现更优越^[22-23]。4种设计方法获得的几何模型的具体结构特征见表1。

图  2  调整直梁间距

Figure  2.  Adjust the distance between straight beams

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图  3  蜂窝结构层：(a)正三角形，(b)内凹形

Figure  3.  Honeycomb structure layer: (a) regular triangle，(b) re-entrant

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表  1  4种设计方法获得的几何模型的具体结构特征

Table  1.  Specific structural features of geometric models obtained by four design methods

Model	Specific structural features
	Distance/mm	Amplitude/mm	Angle/(º)
M-1	3	0	0, 90
AM-1	3	0.25	0, 90
AM-2	3	0.50	0, 90
AM-3	3	1.00	0, 90
D-1	2	0	0, 90
D-2	2-4-2	0	0, 90
D-3	4-2-4	0	0, 90
AN-1		0	0, 45
AN-2		0	0, 45, 135
AN-3		0	0, 90, 45, 135
AN-4		0	0, 30, 60, 90
H-1	Honeycomb structure layer: equilateral triangle
H-2	Honeycomb structure layer: re-entrant

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2.   有限元模型

使用ABAQUS/Explicit软件对层级结构进行显式动力学有限元模拟，研究几何参数对层级结构吸能特性的影响。将试样放置在固定的支撑板上，加载板的自由度固定，以恒定速度向下移动冲击压缩试样，支撑板和加载板均为离散刚体。有限元模型均在Solidworks中构建完成，如图4所示。结构材料采用热塑性聚氨酯（thermoplastic polyurethane，TPU），参数由3.2节单轴拉伸实验测得，由于TPU材料是超弹性材料，因此不考虑塑性，仅用密度和超弹性本构定义试样的材料参数。对网格进行收敛性分析，得到了4种不同网格尺寸M-1结构的载荷-位移曲线，如图5(a)所示。可以看出，网格尺寸为0.5和0.3 mm两种模型的误差较小，均能提供足够高的精度来预测压缩过程。为了降低计算成本，后续研究将选用0.5 mm的网格尺寸。选择C3D8R单元，支撑板及加载板与试样之间的接触设置为通用接触，切向行为采用罚函数描述，摩擦系数设为0.2，法向行为采用“硬”接触描述。如图5(b)所示，设置加载速率为1 m/s，加载过程中的动能比内能小5%，此时可将加载过程视为准静态。

图  4  有限元模型

Figure  4.  Finite element model

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图  5  不同网格尺寸下M-1构型的载荷-位移曲线(a)和能量时程曲线(b)

Figure  5.  Force-displacement curves of M-1 with different mesh sizes (a) and time history of energy (b)

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3.   测试实验

3.1   实验试样与装置

为了验证有限元分析结果的准确性，对层级结构试样进行了准静态压缩实验，分析层级结构的压缩行为。如图6(a)所示，通过3D打印制备试样, 层间结构试样材料均选用超弹性TPU材料。加载实验在CMT5305电子万能试验机上进行，如图6(b)所示。将试样放置在固定的支撑板上，加载板缓慢向上移动，施加压缩位移，压缩应变至试样承压方向的70%。为了保证准静态加载条件，加载速度保持在1 mm/min。通过传感器记录加载平台的位移和压缩力。在压缩过程中使用高速摄像机拍摄了测试试样的快照，以便进一步分析。

图  6  实验试样 (a) 和CMT5305万能试验机 (b)

Figure  6.  Experimental samples (a) and CMT5305 universal testing machine (b)

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3.2   材料参数

如图7(a)所示，制备了与试样材料一致的3个相同狗骨形状拉伸试件进行单轴拉伸实验，试样标距为34 mm，厚度为2.5 mm。单轴拉伸实验的加载速率为200 mm/min，取3组数据均值得到名义应力-应变曲线（图7(b)），TPU材料的密度ρ为1.43 g/cm³，泊松比ν为0.47。

图  7  (a) 拉伸试样及尺寸和 (b) TPU材料的应力-应变曲线

Figure  7.  (a) Tensile specimens and its dimensions，(b) stress-strain curve of TPU

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3.3   实验结果

图8给出了层级结构试样的实验载荷-位移曲线。载荷-位移曲线大致分为3个阶段：弹性阶段、平台阶段和致密化阶段。在压缩初期，结构由塑性铰承受载荷，对应载荷-位移曲线的弹性阶段；在压缩中期，塑性铰开始受压变形直至塑性铰之间的梁开始接触，对应载荷-位移曲线的平台阶段；在压缩后期，梁相互接触至密实，对应载荷-位移曲线的致密化阶段。从图8可以看出，随着梁幅值的增大或减小，调整直梁之间的间距、直梁排列的角度以及引入蜂窝结构层，层级结构的平台力和峰值力均提高；而调整直梁间距，层级结构的平台力和峰值力均降低。

图  8  调整幅值(a)、间距(b)、角度(c)以及插入蜂窝结构层(d)时层级结构试样的载荷-位移曲线

Figure  8.  Force-displacement curves of hierarchical structure sample: adjustment of (a) amplitude, (b) distance, (c) angle and (d) introducing honeycomb structural layers

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4.   有限元模拟与实验结果对比

图9为M-1试样有限元模拟与实验测试结果对比的阶段变形情况。由于与其他试样的外部变形基本一致，因此仅给出了M-1试样的变形模式对比。结果表明，实验测试结果与有限元模拟结果在不同压缩应变阶段的变形规律基本吻合，为有限元模型的建立提供了依据。在接下来的研究中，使用验证的有限元模型研究不同几何参数的影响。图10给出了M-1试样在同一压缩速率下实验与有限元模拟得到的载荷-位移曲线对比，可以看出，有限元模型预测的载荷-位移曲线与实验结果有良好的相关性，进一步验证了有限元模型的可靠性。

图  9  M-1试样不同阶段变形模式的实验与有限元模拟结果对比

Figure  9.  Experimental and finite element simulation comparison of deformation modes of M-1 specimens at different stages

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图  10  M-1试样的实验与有限元模拟载荷-位移曲线对比

Figure  10.  Comparison of experimental and finite element simulation of force-displacement curves for M-1 specimens

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5.   结果与讨论

5.1   能量吸收标准

本研究用结构的能量吸收E_A和比吸能S_EA评估层级结构的吸能特性。从能量吸收的角度来看，层级结构应尽可能地吸收能量。层级结构的能量吸收E_A表示为

式中：d为压缩位移，F(x)为瞬时承载力。

比吸能S_EA常用于反映结构单位质量的能量吸收效率，可以理解为较高的S_EA代表更好的能量吸收能力，数学表达式为

式中：M为结构的总质量。表2给出了打印试样的质量。

表  2  打印试样的质量

Table  2.  Mass of the 3D printed sample

Model	Mass/g		Model	Mass/g
M-1	6.92		AN-1	9.01
AM-1	7.63		AN-2	8.72
AM-2	7.74		AN-3	8.38
AM-3	9.39		AN-4	7.73
D-1	9.26		H-1	10.05
D-2	6.66		H-2	9.15
D-3	6.71

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5.2   振幅的影响

图11给出了不同振幅A的层级结构在不同应变下的变形情况。当ε=0时，结构未被压缩，此时不承受任何应力。当进一步压缩至ε=0.2时，结构主要由梁之间形成的塑性铰承受载荷^[24]，对于振幅A=1.00 mm的AM-3结构，除形成了塑性铰外，还形成了比塑性铰长的塑性带。进一步压缩至应变ε=0.5时，结构到达密实应变。在泊松比效应的影响下，结构随着压缩的加剧而横向膨胀。当振幅较小（A<0.50 mm）时，结构的四周边界开始屈曲，塑性铰之间的梁开始接触，结构承受的载荷大幅增加；当振幅A=1.00 mm时，AM-3结构不止发生边界屈曲，结构内部也开始屈曲，塑性铰之间的梁过早接触，且接触面积更大，结构承受的载荷远比振幅小时的载荷增长得更快。继续压缩至应变ε=0.7时，结构接近完全压缩，结构之间的梁接近完全接触，振幅A<0.50 mm时，结构中大部分梁的接触状态比较整齐，而振幅A=1.00 mm时，结构中的梁被压缩得较为杂乱，梁之间的接触面增大。

图  11  不同振幅层级结构在不同应变下的变形

Figure  11.  Deformation of hierarchical structures of different amplitude under various strains

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通过不同振幅下层级结构的载荷-位移曲线，计算得到E_A和S_EA，如图12所示。AM-1、AM-2和AM-3层级结构的E_A分别比M-1层级结构的E_A高20%、25%和60%；而AM-1、AM-2和AM-3层级结构的S_EA分别比M-1层级结构的S_EA高11%、16%和46%。上述结果表明，用正弦曲线梁代替直梁能够显著提高层级结构的吸能能力，与Liu等^[21]通过面外冲击试验验证的正弦曲线结构具有优越的面外性能结果一致，振幅越大，层级结构的吸能能力越强。

图  12  不同振幅层级结构的E_A和S_EA

Figure  12.  E_A and S_EA of hierarchical structure ofdifferent amplitudes

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5.3   间距的影响

图13给出了不同间距层级结构在应变变化下的变形情况。可以看出，随着间距的变化，结构的塑性铰数目增多，且塑性铰位置发生改变。当压缩应变ε=0.2时，与5.2节一致，结构主要由塑性铰承受载荷。当压缩应变ε=0.5时，在M-1和D-1结构中承受较多载荷的塑性铰主要在结构对角线附近，呈“X”形分布，在D-2和D-3结构中承受较多载荷的塑性铰分布在样条间距小的位置，在D-2结构中主要分布在4个角落，而在D-3结构中则主要分布在中心线处，呈“十”字分布。当压缩应变ε=0.7时，M-1、D-1和D-3结构因正泊松比效应而导致横向膨胀，D-2结构则发生侧向失稳。

图  13  不同间距层级结构在不同应变下的变形

Figure  13.  Deformation of hierarchical structures of different distance under various strains

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图8(b)给出了不同间距的层级结构的载荷-位移曲线，在调整间距而不改变样条数目后，结构承受的平台力和峰值力均降低。图14可以侧面说明，随着结构的吸能能力降低，D-2和D-3结构的E_A和S_EA比M-1结构的E_A和S_EA分别降低了29%、27%和36%、34%。与M-1结构相比，D-1结构的塑性铰增加，结构承受的平台力和峰值力提升，吸能能力提升，其E_A和S_EA比M-1结构分别提高51%和46%。综上所述，在不增加塑性铰的情况下，结构的吸能能力降低；而增加塑性铰后，结构的吸能能力得到了显著提升。

图  14  不同间距层级结构的E_A和S_EA

Figure  14.  E_A and S_EA of hierarchical structure ofdifferent distance

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5.4   角度的影响

图15给出了调整角度后层级结构的变形情况。AN-1层级结构只将一层直梁角度调整为45°，导致其在压缩变形过程中在中间45°方向向两侧屈曲，同时使载荷-位移曲线弹性阶段以后的承载力下降（见图8(c)），密实后AN-1层级结构的45°直梁朝中间挤压。AN-2层级结构相较于AN-1层级结构增加了一层135°的直梁，AN-3层级结构相较于AN-2层级结构增加了一层90°的直梁，其层级结构更加稳定，屈曲现象不明显。当压缩应变ε=0.2时，AN-2层级结构和AN-3层级结构承受的载荷大部分由0°直梁形成的塑性铰承担。在压缩初始阶段，AN-4层级结构是由内部成角度的梁之间形成的塑性铰承担，但形成的塑性铰较少，导致图8(c)中载荷-位移曲线初期承受载荷较低。随着压缩过程的进行，与AM-3层级结构相似，直梁杂乱接触，使得直梁之间的接触面增大。

图  15  不同角度层级结构在不同应变下的变形

Figure  15.  Deformation of hierarchical structures of different angle under various strains

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图16给出了调整角度后层级结构的E_A和S_EA，AN-1、AN-2、AN-3和AN-4层级结构的E_A分别比M-1层级结构提高了44%、48%、52%和43%。AN-1、AN-2、AN-3和AN-4层级结构的S_EA分别比M-1层级结构提高了26%、34%、42%和36%。综上所述，从层级结构的整体变形情况以及E_A和S_EA可以看出，改善层间直梁的角度可以有效提高层级结构的吸能能力。

图  16  不同角度层级结构的E_A和S_EA

Figure  16.  E_A and S_EA of hierarchical structure ofdifferent straight beam angles

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5.5   蜂窝结构层的影响

基于上述研究中塑性铰对层级结构吸能特性的影响，为使塑性铰的整体性能更优异，将蜂窝结构加入层级结构，图17给出了将正三角形（H-1）和内凹形（H-2）蜂窝应用于层级结构后的变形情况。

图  17  不同应变下蜂窝层级结构的变形情况

Figure  17.  Deformation of honeycomb hierarchical structures under various strains

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在压缩前期，与上述研究结果基本相同，初始承载均由塑性铰承受，当压缩应变ε=0.5时，层级结构中的样条发生侧移，蜂窝结构层变化不明显，从而形成了更多的塑性铰，使得层级结构开始致密化，承载大幅提高。与图8(d)中H-1和H-2层级结构的载荷-位移曲线趋势基本吻合。当压缩应变ε=0.7时，层级结构接近完全密实，H-2层级结构中样条与蜂窝结构层之间接触混乱，而H-1层级结构中样条与蜂窝结构层之间排列较整齐。通过图18中H-1和H-2层级结构的能量吸收和比吸能对比可以进一步验证，H-1和H-2层级结构的E_A比M-1层级结构的E_A分别高57%和46%。H-1和H-2层级结构的S_EA比M-1层级结构的S_EA分别高37%和29%。综上可以看出，引入蜂窝结构层对层级结构的影响十分明显，蜂窝结构层可以明显提高层级结构的吸能特性。

图  18  蜂窝层级结构的E_A和S_EA

Figure  18.  E_A and S_EA of hierarchical structure with honeycomb structure layer

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6.   结　论

通过对面心立方层级结构进行优化设计，提出了几种新型层级结构。采用熔融沉积法制备层级结构试样，并开展了准静态压缩实验，实验结果与有限元分析结果吻合较好。

(1) 在层级结构中引入正弦曲线梁代替直梁，正弦曲线梁的振幅越大，层级结构的吸能特性越好。AM-1、AM-2和AM-3层级结构的S_EA分别比M-1层级结构的S_EA高11%、16%和46%。

(2) 层级结构的吸能性能与直梁的间距有关，即与塑性铰的个数和位置有关，塑性铰的个数越多，分布越均匀，越有利于层级结构吸能。D-1结构的S_EA比M-1结构高46%。分布不均匀会导层级结构发生侧向屈曲，不利于层级结构吸能。D-2和D-3结构的S_EA比M-1结构分别降低27%和34%。

(3) 调整直梁的角度会使层级结构的吸能特性更好，并且直梁角度调整越均匀，吸能特性越好。AN-1、AN-2、AN-3和AN-4层级结构的S_EA分别比M-1层级结构提高26%、34%、42%和36%。

(4) 蜂窝结构层的引入形成了更多的塑性铰，从而使层级结构的整体性更好，明显提高层级结构的吸能性能。H-1和H-2层级结构的S_EA比M-1层级结构分别高37%和29%。