1.   引言

30CrMnSiNi2A钢是一种性能优异的低合金超高强度钢，经适当热处理后，不仅具有较好的塑性和韧性，还具有很好的抗疲劳性和断裂韧度，以及较低的疲劳裂纹扩展速率，因而广泛应用于弹体、飞机起落架、发动机壳体等涉及爆炸和动态冲击载荷的构件^[1]。研究发现，影响此类材料的动态力学性能(如动态本构关系、动态断裂韧性等)的因素很多，其中热处理硬度对材料力学性能有重要影响，尤其对材料动态力学性能和损伤破坏行为的影响显著。热处理硬度是衡量材料力学性能的重要参数。材料经过不同的热处理工艺后，其力学性能将发生显著改变：随着材料硬度的增大，材料的强度增加，但脆性特性往往表现得更加突出。国内外学者针对不同硬度金属材料的动态力学性能开展了大量的研究工作。例如：吴广等^[2]对洛氏硬度值(H_RC)分别为42、44和47的30CrMnSiNi2A钢弹体以相同速度正撞击钢靶的破坏过程进行了研究，发现弹体的破碎程度随着硬度的增加而降低，弹体对靶板的侵彻能力随着硬度的增加而增强；武海军等^[1]、周义清等^[3]研究了3种不同硬度30CrMnSiNi2A钢在常温下的动态本构模型，给出了Johnson-Cook强度模型参数；Weerasooriya等^[4]探究了装甲钢的屈服强度随硬度变化的规律，拟合了不同应变率下屈服强度与硬度的关系。综上所述，国内外的相关研究主要集中在给定硬度金属材料的动态本构参数拟合，缺少对本构参数随硬度变化规律的探讨，较少涉及不同硬度金属材料的损伤参数变化规律的研究。

本工作以不同硬度的典型金属材料——30CrMnSiNi2A钢的动态本构模型和损伤演化为研究对象，开展不同硬度30CrMnSiNi2A钢的准静态压缩与拉伸实验、缺口试件拉伸实验以及基于分离式霍普金森压杆(Split Hopkinson Pressure Bar, SHPB)装置的动态压缩实验，确定不同硬度30CrMnSiNi2A钢的Johnson-Cook强度模型参数和Johnson-Cook失效模型参数，重点探讨本构参数和损伤参数随材料硬度变化的规律。

2.   30CrMnSiNi2A钢的动态力学性能实验

实验所用材料均来自于同一批30CrMnSiNi2A钢材料，其化学组分如表 1所示。将原材料加工至试件设计尺寸后，进行热处理，得到4组不同硬度的试件。

表  1  30CrMnSiNi2A钢的化学成分(质量分数)

Table  1.  Composition of 30CrMnSiNi2A steel (Mass fraction)

(%)
C	Si	Mn	Cr	Ni	Cu	P	S
0.300	1.040	1.160	1.030	1.680	0.080	0.014	0.020

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按照国家标准GB/T 4043─1999，利用维氏硬度仪测量试件的硬度。在每个试件上取3个测点进行测量，测量结果取平均值，再将所测维氏硬度转换为洛氏硬度，得到试件Ⅰ~试件Ⅳ的洛氏硬度值(H_RC)分别为31、36、45和55。

2.1   准静态压缩实验

根据国家标准GB/T 7314─2005关于试件尺寸的要求，将准静态压缩实验试件的名义尺寸设计为Ø8 mm×10 mm。在室温下进行材料的准静态压缩实验，实验的名义应变率为1×10^-3 s^-1，所得不同硬度试件的真实应力-应变曲线如图 1所示。由此得到试件Ⅰ~试件Ⅳ的屈服强度分别为742、814、1 269、1 516 MPa，即屈服强度随硬度的增加而增大。图 2为试件在准静态压缩实验前、后的对比照片。

图  1  不同硬度试件的真实应力-应变关系

Figure  1.  True stress-true strain curves of specimens with different hardnesses

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图  2  实验前、后的试件对比

Figure  2.  Comparison of original with deformed specimens

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2.2   拉伸实验

2.2.1   不同应变率的拉伸实验

根据国家标准GB/T 228.1─2010的要求，对圆柱拉伸实验试件的尺寸和外形进行设计，其形状和尺寸如图 3所示。通过调节试验机的拉伸速率获得所需的应变率，实验时分别将拉伸速率设置为0.5、5.0和50.0 mm/min，对应的应变率分别为1×10^-4、1×10^-3和1×10^-2 s^-1。

图  3  拉伸试件的外形和尺寸

Figure  3.  Geometry and dimension of tensile specimen

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假设试件在单轴拉伸断裂前、后的体积保持不变，并且断口截面应变保持均匀，参考Wierzbicki等^[5]和Teng等^[6]的方法计算试件的失效应变ε_f，即

式中：A₀为断口原始横截面积，A_f为断裂时断口区域的横截面积。实验结果如表 2所示。由表 2可知：随着硬度的增加，30CrMnSiNi2A钢试件断裂时的失效应变减小；相同硬度30CrMnSiNi2A钢的断裂失效应变随着应变率的增大而增大。

表  2  拉伸实验结果

Table  2.  Results of tensile experiments

Specimen No.	HRC	εf
		1×10-4 s-1	1×10-3 s-1	1×10-2 s-1
Ⅰ	31	1.0207	1.0478	1.1129
Ⅱ	36	0.9478	0.9843	1.0055
Ⅲ	45	0.8393	0.8655	0.8850
Ⅳ	55	0.0409	0.0642	0.0740

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不同硬度的试件在拉伸应变率为1×10^-3 s^-1时的实验结果如图 4所示。可以观察到：试件Ⅰ、试件Ⅱ和试件Ⅲ的断口形貌类似，断口处局部区域发生颈缩，断口有较大的塑性变形，外形呈杯锥状，为典型的韧性断裂，颈缩程度随材料硬度的增加而减弱；试件Ⅳ的断口处没有发生明显的颈缩。

图  4  拉伸实验后不同硬度试件的形貌

Figure  4.  Fractured specimens with different hardnesses

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分析图 5所示的拉伸试件断口形貌时发现，对于试件Ⅰ、试件Ⅱ和试件Ⅲ，可将断面分为纤维区、放射区和剪切唇，其中：纤维区位于断口中心，即图 5中圆内区域，表面粗糙且呈现纤维形态，是断裂起始处；靠近纤维区的外围为放射区，为裂纹迅速扩展区域，当裂纹扩展至纤维区时裂纹扩展速度变慢，形成锯齿状；断口边缘较为光亮的区域为剪切唇，其表面光滑，与拉应力方向成45°。对比试件Ⅰ、试件Ⅱ和试件Ⅲ的断口发现，硬度越大，断口放射区所占比例越大，纤维区和剪切唇所占比例越小。该现象表明，随着硬度的增加，材料塑性变差，脆性增强。观察试件Ⅳ的断口形貌发现，断口处没有明显的塑性变形，断口与正应力垂直，断口表面平齐，边缘只有很小的剪切唇，为典型的脆性断裂形态^[7]。

图  5  拉伸实验后试件的断口形貌

Figure  5.  Facture morphology of different tensile specimens

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2.2.2   缺口试件拉伸实验

金属材料的失效应变不仅与应变率有关，还与应力状态有关。应力状态用应力三轴度η表征。η是反映材料内某点三轴应力程度的无量纲参数，可以通过剪切、压缩、缺口试件拉伸实验获得。缺口试件的初始应力三轴度η₀可以通过下式^[8]计算

式中：D为缺口处截面的最小直径，R为缺口半径。

本研究只进行缺口试件拉伸实验，试件的尺寸和外形见图 6，其中试件缺口半径R分别为3、6和9 mm，缺口处截面的最小直径为10 mm。2.2.1节中的无缺口试件相当于缺口半径为无穷大。

图  6  缺口拉伸试件尺寸及外形

Figure  6.  Geometry and dimension of pre-notched cylinder specimens

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同理，由(1)式计算试件的失效应变，结果如表 3所示。根据表 3可知，应力三轴度对失效应变有较大影响，对于相同硬度的30CrMnSiNi2A钢，其失效应变随着应力三轴度的增加而逐渐减小，说明随着应力三轴度的增加，30CrMnSiNi2A钢的延展性越来越差。对比相同应力三轴度下不同硬度试件的失效应变发现，失效应变随着硬度的增加而明显减小，特别当硬度值(H_RC)达到55时，试件的失效应变急剧减小，说明此时30CrMnSiNi2A钢已主要表现为脆性。再对比应力状态和应变率对材料失效应变的影响，可以发现，在以上两种因素中，应力三轴度是主要的影响因素。

表  3  缺口拉伸实验结果

Table  3.  Tensile experiment results of pre-notched specimens

Specimen No.	HRC	εf
		R=3 mm (η=0.9385)	R=6 mm (η=0.6806)	R=9 mm (η=0.5781)	R→∞ (η=0.3333)
Ⅰ	31	0.4968	0.6319	0.7236	1.0478
Ⅱ	36	0.4024	0.4852	0.5789	0.9843
Ⅲ	45	0.2456	0.2797	0.3321	0.8655
Ⅳ	55	0.0228	0.0269	0.0404	0.0642

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2.3   SHPB动态压缩实验

采用直径为14.5 mm、压杆长度为1 000 mm的SHPB实验装置，进行动态压缩实验。利用粘贴在弹性杆上的应变片记录入射波、反射波和透射波应变(分别为ε_I(t)、ε_R(t)和ε_T(t))，通过下式计算实验材料的动态应力和应变

式中：σ、ε和${\dot \varepsilon }$分别为试件的应力、应变和应变率，A_s和L分别为试件的初始横截面积和初始长度，E、A_b、c₀分别为杆的杨氏模量、横截面积和弹性波速。本研究中SHPB实验所用子弹、透射杆和入射杆材料均为高强度合金钢，杨氏模量E=210 GPa，密度ρ=7.85 g/cm³。

SHPB实验所用试件的名义尺寸为Ø6 mm×4 mm，杨氏模量为210 GPa，密度为7.72 g/cm³。对4种不同硬度的30CrMnSiNi2A钢试件分别进行4组不同应变率的加载实验，测得的应力-应变关系曲线如图 7所示。通过图 7可以得到不同硬度试件的动态屈服强度(σ_yd)，见表 4。对于没有明显屈服点的应力-应变曲线，将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服强度。由表 4可知，在不同应变率下屈服强度随着应变率的增加而增大，即材料的屈服强度具有一定的应变率敏感性。

图  7  在不同应变率下不同硬度试件的应力-应变关系

Figure  7.  Stress-true strain curves of specimens with different hardnesses at different strain rates

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表  4  不同硬度的试件在不同应变率下的屈服强度

Table  4.  Yield strength of specimens with different hardnesses at different strain rates

Specimen No.	HRC	${\dot \varepsilon }$/(s-1)	σyd/(MPa)
Ⅰ	31	1600 3050 4100 6500	892 916 935 949
Ⅱ	36	1300 2150 3400 5500	947 968 989 1012
Ⅲ	45	1200 2200 3500 5200	1495 1515 1534 1550
Ⅳ	55	1250 1650 2700 4250	1878 1896 1911 1926

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屈服强度与应变率的关系可表述为^[9]

式中：σ_s、σ_yd分别为准静态屈服强度和动态屈服强度；k为应变率敏感系数，r为材料的黏弹性参数，在实验条件下，k和r近似为常数。将(4)式转换为

由此可知，ln(σ_yd/σ_s-1)与${\rm{ln}}\dot \varepsilon$近似为线性关系，通过不同应变率下屈服强度与应变率的关系拟合得到应变率硬化指数k和材料黏弹性参数r。4种不同硬度30CrMnSiNi2A钢的k和r见表 5。对比可知，随着硬度的增加，k增大而r减小，说明30CrMnSiNi2A钢的应变率敏感性随着硬度的增加而减弱。

表  5  不同硬度试件的k和r

Table  5.  k and r of specimens with different hardnesses

Specimen No.	HRC	k	r/(s-1)
Ⅰ	31	94760	0.697
Ⅱ	36	125222	0.678
Ⅲ	45	552721	0.575
Ⅳ	55	7725663	0.343

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3.   30CrMnSiNi2A钢的动态本构模型和失效模型

3.1   Johnson-Cook本构模型及参数确定

Johnson-Cook (J-C)本构模型是Johnson和Cook^[10]于1983年针对材料动态冲击问题，考虑了应变、应变率和温度等因素而建立起来的经验型本构模型，方程形式简单，模型参数容易获取，因此广泛应用于各类有限元模拟。J-C本构关系的表达式如下

式中：σ_e为流动应力；ε_{e, p}为等效塑性应变；${{\dot \varepsilon }^*}$为无量纲等效塑性应变率，${{\dot \varepsilon }^*}{\rm{ = }}{{\dot \varepsilon }_{{\rm{e, p}}}}/{{\dot \varepsilon }_0}$，其中${{\dot \varepsilon }_{{\rm{e, p}}}}$为等效塑性应变率，${{\dot \varepsilon }_0}$为参考应变率；T^*为无量纲温度，T^*=(T-T_r)/(T_m-T_r)，其中T_r、T_m分别为参考温度和材料的熔点，通常情况下T_r为室温(298 K)，有时为了便于与其他模型比较，也可取0 K；A、B、C、m、n为待定参数，其中A为材料在参考应变率和参考温度下的屈服强度，B、n为应变强化系数，C为应变率敏感系数，m为温度软化系数。

以下通过实验结果拟合参数A、B、n、C，由于我们主要研究30CrMnSiNi2A钢在常温下的本构关系，没有进行不同温度下的动态压缩实验，因此不对参数m进行计算和讨论。

3.1.1   确定参数A、B和n

A、B、n可以通过在参考应变率(1×10^-3 s^-1)和参考温度(298 K)下的压缩实验获得。在参考温度和参考应变率下，(6)式可简化为

当塑性应变为零时，A=σ_e=σ_s，因此A通常取为材料屈服时的真实应力。如果材料的应力-应变曲线没有明显的屈服点，则取试件产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服强度。对(7)式进行变换，得到

将σ_e-ε_{e, p}曲线转换为ln(σ_e-A)-ln ε_{e, p}曲线(应力为塑性应力，未考虑弹性段应力)，则所得直线截距为ln B，斜率为n，从而确定了应变强化系数B和n，如表 6所示。

表  6  不同硬度试件的J-C模型参数

Table  6.  J-C model parameters of specimens with different hardnesses

Specimen No.	HRC	A/(MPa)	B/(MPa)	n	C	D1	D2	D3	D4
Ⅰ	31	742	623.11	0.424	0.061	0.351	1.650	2.589	0.020
Ⅱ	36	814	643.57	0.446	0.055	0.348	2.673	4.333	0.012
Ⅲ	45	1269	810.18	0.479	0.040	0.239	8.593	7.867	0.009
Ⅳ	55	1516	1537.97	0.610	0.017	0.014	0.015	3.251	0.007

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3.1.2   确定参数C

(6) 式等号右边第2项表示应变率强化效应。将3.1.1节拟合得到的参数A、B、n代入(6)式，可以得到常温下材料的应力-应变关系

则当塑性应变为零时，由(9)式可得常温下材料的屈服应力-应变率关系

利用从应力-应变曲线中提取的动态屈服强度σ_yd，做出${\sigma _{{\rm{yd}}}} - {\rm{ln}}({{\dot \varepsilon }_{{\rm{e, p}}}}/{{\dot \varepsilon }_0})$曲线，拟合得到应变率敏感系数C。表 6中列出了拟合得到的不同硬度30CrMnSiNi2A钢的应变率敏感系数C，可以发现C随着硬度的增加而减小，也说明30CrMnSiNi2A钢的硬度越高，应变率敏感性越弱。

3.1.3   结果分析与讨论

由J-C本构模型得到的应力-应变曲线与实验结果的对比如图 8所示。可见，实验结果与J-C本构模型计算结果吻合较好，说明所获得的J-C本构模型参数能较好地描述不同硬度30CrMnSiNi2A钢的动态力学行为。

图  8  应力-应变曲线的实验结果与拟合结果对比

Figure  8.  Comparison of experimental data with fitted result of stress versus strain

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A、B、n、C与材料硬度值H_RC的关系见图 9。可以看出：A随硬度的增加近似呈线性增加，表明30CrMnSiNi2A钢的屈服强度随着硬度的增加近似线性增加；硬化指数B、n随硬度呈指数增加，说明硬度增加时，30CrMnSiNi2A钢抵抗均匀塑性变形的能力增强，抗冲击性能增强；应变率敏感系数C随硬度的增加呈指数下降，说明30CrMnSiNi2A钢的应变率敏感性随着硬度的增加而减弱，脆性增强。

图  9  J-C本构模型参数与硬度的关系

Figure  9.  J-C constitutive model parameters vs.hardness

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3.2   Johnson-Cook失效模型及参数的确定

1985年，Johnson和Cook^[11]以Rice等^[12]提出的孔洞增长方程为基础，综合考虑应力三轴度、应变率和温度对材料失效的影响，建立了类似于J-C本构模型形式的失效模型

式中：D₁~D₅为材料损伤参数；σ^*=p_s/σ_eq=-η，其中p_s为静水压力，σ_eq为等效应力。J-C失效模型应用损伤累计准则来考虑材料的失效过程，单元的累计损伤参量D可表示为

式中：D在0~1之间变化，初始时D=0，材料失效时D=1；Δε_f为一个积分循环内的等效塑性应变增量，ε_f为当前时间步下的失效应变，由(11)式确定。以下将通过实验结果拟合参数D₁、D₂、D₃、D₄，本研究只考虑常温情况，未分析温度对失效应变的影响，即不对参数D₅进行拟合计算和讨论。

3.2.1   确定参数D₁、D₂和D₃

在常温(298 K)下，当应变率为参考应变率(1×10^-3 s^-1)时，(11)式可简化为

其中D₁、D₂、D₃通过在参考温度和参考应变率下不同应力三轴度实验获得。我们通过不同缺口试件的拉伸实验得到了失效应变与应力三轴度的关系，结果如表 2和表 3所示，然后利用(13)式中失效应变与应力三轴度的关系，拟合得到不同硬度30CrMnSiNi2A钢的D₁、D₂、D₃，如表 6所示。

3.2.2   确定参数D₄

由(12)式可知，在参考温度下失效应变与应变率的关系为

在已知D₁、D₂、D₃的情况下，通过对参考温度下不同应变率的圆柱棒拉伸实验结果进行拟合，可以得到D₄，结果如表 6所示。

3.2.3   结果分析与讨论

图 10显示了损伤参数D₁、D₂、D₃、D₄与试件硬度值H_RC的关系。可见，D₁呈指数下降。由(11)式可知，应力三轴度为零时(即纯剪切状态)失效应变ε_f=D₁，由此可见，随着30CrMnSiNi2A钢硬度的增加，材料的剪切失效应变减小。D₂和D₃随着硬度的增加先增大后减小，当试件硬度值(H_RC)达到55时，D₂和D₃均发生急剧变化。根据2.2.1节中对试件断口的分析，当30CrMnSiNi2A钢的硬度值达到55时，材料的断裂机制发生改变，由低硬度下的韧性断裂转变为高硬度下的脆性断裂，从而反映在J-C失效模型参数的变化上，导致D₂、D₃在H_RC=55时发生突变。图 10(d)显示，D₄随着硬度的减小而减小，说明随着硬度的增加，应变率对材料失效应变的影响减小。

图  10  J-C失效模型参数与硬度的关系

Figure  10.  J-C failure model parameters vs.hardness

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4.   结论

对不同硬度的30CrMnSiNi2A钢在不同应变率、不同应力状态下进行了力学性能测试，确定了相应的动态本构和损伤参数。结果表明：(1) 30CrMnSiNi2A钢的屈服强度随着硬度的增加近似线性增加；而相同硬度的30CrMnSiNi2A钢的屈服强度随着应变率的增加而增大，但是应变率敏感性却随着硬度的增加而减弱；(2)对于相同硬度的30CrMnSiNi2A钢，随着应力三轴度的增加，延展性减小；在相同应力三轴度情况下，随着硬度的增加，失效应变越来越小，材料的塑性减弱，脆性增强。下一步研究工作将进行Taylor杆撞击试验，进一步验证J-C本构模型和J-C失效模型参数的准确性。